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ficiali introdotti, che sono finiti ed in numero finito. Similmente indichiamo 

 un integrale consimile esteso all' insieme complementare a. 

 Potremo allora scrivere: 



con 



ggjj jLco C* sen ^ oc 



(3) lim — — ^}{x)dx = \\m — x\\x) dx -\- 



tsen ^x 

 — - — ^){x') dx . 

 „ — , „ X 



TC 



Il primo limite a secondo membro è = — </'(+0), perchè per esso vale la 



condizione di Jordan e perchè il punto ce = 0 appartiene all'insieme 2. 

 Quanto al secondo termine, poiché vale la relazione 



r 



sen , , , 

 mx) dx 



X 



< 



sen f \ip(x)\ 



— 2 — xp{x) dx < ) dx , 



X 



e poiché \ipix)\ essendo integrabile sull'insieme (che è a distanza finita 



\x1j(x)\ 



dal punto x = 0) anche — -.— risulta integrabile, ne viene di conse- 



OC 



guenza (') che scegliendo la misura di a suflicientemente piccola, si può 

 rendere l'integrale in questione, minore di una quantità positiva, piccola a 

 piacere e indipendente da l. 

 Otterremo dunque 



lim \p{x) dx = — ìp(-\- ()) , 



X=oo ^'o X 



come volevamo dimostrare. Analogamente valgono le formule accessorie (B) 

 per limiti fissi, e (B) per limiti variabili, come nel caso di i// funzione li- 

 mitata e monotona. 



Con riferimento ai risultati combinati di Riemann e di Lebesgue, ed 

 alle osservazioni che ho fatto in principio sul legame fra le condizioni per 

 gli sviluppi di Fourier e per la formula di Dirichlet. si potrebbe poi di- 

 mostrare che la formula di Dirichlet vale anche quando siano soddisfatte 

 semplicemente le condizioni I, II, senza necessità della III; ma la dimo- 

 strazione diretta, si presenta tutt'altro che semplice, e in ogni caso non 

 deducibile per generalizzazione del risultato dimostrato per le funzioni mo- 

 notone. 



(') III virtù di un trorema dato da 0. J. de la Vallèe-Poussin nella sua Memoria 

 fondamentale: Recherches sur la convergence des inlégrales c/é/inies, Journ;il de ]\Iathé- 

 matiques, ser. IV, v<d. Vili (1892), pp. 421-467; v. Teorema II, pag. 428, art. 15. 



