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Matematica. — Sur la permutabilité de 5'''"* espèce. Nota 

 del sig. J. SouLA, presentata dal Socio Y. Volterra ('). 



Noiis allons étudier les relations qui ont lieu entre les solutions de 

 deux équations intégrales sans second membre, à limites constantes, dont 

 les noyaux sont permutables, et montrer que ces relations peuvent servir à 

 l'étude de la permutabilité de 2'^™^ espèce de M"" Volterra. 



1. Voici une remarque qui généralise des résultats connus: Toute so- 

 lution de l'équation 



(1) g){a;) =« A f K{xs) (p{s) ds 

 est solution de 



(1') <p{x) = |t* r N(ajs) (p{s) ds 



■Ja 



lorsque 



(2) N{xy) = ai K{xy) -] \- a„ K„{xy) , 



où les puissances désignent les opérations de la composition de 2'*™* espèce. 



Il faut prendre: — = -y- -j [- ^ (nous supposons — 4=0^. Mais 



en general les relations entre les solutions des équations (1) et (T) sont plus 

 compliquées, lorsque K(a;y) et ^{xy) sont permutables sans étre liées par 

 la relation (2). 



2. Dans tout ce qui suit, les intégrales seront prises entre les mémes 

 limites fixes, a et è, que nous n'écrirons plus. Le théorème suivant nous ser- 

 virà de point de départ: 



'^{xy) et 'K{xy) étant deux fonctions permutables, supposons que l'on ait : 



(3) (p{x) = X ^)i{xs) (p{s) ds ; 

 posons alors 



(4) xfj{a:) = X j^K{zs) (p{s) ds . 

 Je dis que l'on a: 



ou bien ip{x) = 0 , 



(5) ou bien ip{x) = l J'Nixs) ìp{s) ds . 



{') Pervenuta all'Accademia il 10 sctteintre 1912. 



