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Supposons tp{x) =}= 0. Partons de 



J"n(ìcm) K(mj/) du = ^K{xu) '^{uy) du 



Donc 



^ ^l^{xu) 'K{uy) (f{y) du dy = ^ ^K{xu)'^{uy) (f{y) du dy 

 ^'^{xu) I J"k(mz/) (p{y) dy | du = ^'K{xu) | J^N(m«/) (p{y) dy | du 

 j^{xu)'^du=jK{xu)^ 

 ip{x) — l N(a;M) xp{u) du . 



du 



Il est facile de s'assiirer que le cas où tp{x) = 0 peut se produire; on n'a 

 qu'a prendre: 



Kixy) = ^{xy) — A J^N(ìcm) N(m2/) du . 



3. Soit (pi{x) <fì{x) ... (fn{oo) un système de solutions linéairement inde- 

 pendantes de l'équation 



(f{x) = X ^'^{xs) q{s) ds 



pour une valeur caractéristique A, de rang n. 

 On poserà: 



ipi{x) — xJ^K{xs) (pi{s) ds (/ = 1 , 2 , ... , n) 



Les fonctions tpiix), qui ne sont pas niilles. sont des conibinaisons linéaires 

 des fonctions (pi{x). On peut chercher à profiter de ce que les g>i{x) sont, 

 dans une certaine mesure, indeterminées, pour simplifier les relations entre 

 les g>i{x) et ■tpi{x). On peut s'arranger pour que les xp non nuls soient des 

 formes linéaires indépendantes des ^. On aura alors des relations telles que 



ipi{x) = ttn (Pi{x) + •■• + «in 



xpq{x) = agi (pi{x) + ••• -f agn (pn{x) 



Ipg+lix) = 0 ... ìpn{x) = 0. 



