— 428 — 



K2(a;t/) étant la fonction 



1^2(0;^) =Jk{xu) ^{ut/) du . 



Si donc OD est sur qii'il n'existe aucune fonction h{a;) possédant cette pro- 

 priété, on peut affirmer que A n est pas nul. 



C'est ce qui arrive qiiand K{xy) est symétrique, lorsque K{xy) est 

 ferme, on encore lorsque K{xy) est la somme d'un nombre tini, ou d'une 

 serie régulierement convergente en x et en ìj de parties de noj^aii relatives 

 à un pOle du noyau résolvant. 



6. Supposons A nul. Nous transforraerons alors les fonctions (pi{x) par 



le noyau Kì{a;i/) = Jk{xii) K{tiy) die . 

 On obtient les fonctions: 



hi{x) = j Kiixs) g)i{s) ds = V^i + • + «i? pour i <. q, 



et 



hj{x) = 0 poury>g. 



Pnisque A est nul, les fonctions h{x) non nulles ne sont pas linéairement 

 independantes. On peut alors, par une transformation convenable sur les (fi{a;), 

 augmenter le nombre des fonctions h{x) nulles. 



Si le nouveau déterminant analogue à A est alors encore nul, on rem- 

 placera Ko{,xy) par Kii^y); et ainsi de suite. 



Il y a donc un noyau itéré de K{xy) pour lequel les formules (6) sont 

 vraies quand on remplace K(a;«/) par ce noyau itéré. 



7. Placons-nous dans le cas où les formules (6) sont applicables. On 

 volt que , (pa.+i{x) ... sont des solutions d'équations sans second membre, 

 de noyau K{xy). 



Donc, si toutes les fonctions ìp ne sont pas nulles, il y a au moins une 

 des solutions fondamentales de N(a:^) correspondant à la constante X, qui 

 est aussi solution fondamentale de K{xy). 



Les autres fonctions — <P2{^) 1 (Pol{x) par exemple — sont des fonctions 



X 



» principales - de K{xy) correspondant à la constante caractéristique - de 



s 



K{xy) 



X 



On sait que si — est un pole simple du noyau résolvant de K{xy), 



Si 



les fonctions principales (f2{x) ... (fa.{x) ne sauraient exister. Si le noyau ré- 



(') Goursat, Annales de la Faciilté de Toulouse, 1908. 



