solvant du noyau E{xy) n'a que des póles simples, les formiiles (6) prennent 

 nécessairement la forme 



(7) 



Ces formules seront toiijours valables lorsque }i{xy) est symétrique. 

 Si N(a:?/) et K{xy) sont symétriques, il est facile de voir que Von peut 

 s'ananger ponr que 



jcfi{x) (pj{x) dx = j '^^'^ ^.^-J. 



sans modifier les formules (7). 



8. Soient K(aJ?/) et q{xy) deux noyaux symétriques permutables. Posons 



N(a;?/) = j"K(a;s) (/'(s?/) . 



Soit i{x) ... ff„{x) ... un système de solutions fondamentales de K(a;«/). On 

 designerà par A„ la constante caractéristique à 1 aquelle correspond (pn{^)' 

 D'après le théorème de Hilbert-Schmidt 



K(a;s) q{sìj) ds = Y Uniy) ■ fp„{x) , 



catte serie étant régulierement convergente en x . 



D'après ce qui précède on a pu choisir le ffn{x) de manière à avoir: 

 ou bien 



\q{xs) <p„{s) ds = — - ^„{x) . 

 (.In etant une constante caractéristique de q{xy), ou biei 



Jq{xs) (p„{s) = 0. 



Or 



(iniy) = J^J^g>n{x) K{xs) q{sy) ds dx 

 c-nky) = Jq{sy) ^^Jkìxs) (pn{x) dx | ds 



On a donc: ou bien 

 Rendiconti. 1912, Voi. XXI, 2" Sem. 56 



