— 430 — 



ou bien 



a„itj) = 0 . 



Oli arrive à la formule 



Cette serie ne contenant pas nécéssairement toutes les fonctions (pn{x) , 

 certains termes peuvent étre remplacés par zèro. 



Cette serie régulierment convergente en x, l'est aussi en y par symétrie. 



Il résulte de ce calcul, que la fonction l^{xy), produit de deux fonctions 

 symétriques permutables, n'est pas quelconque : son « déterminant » D(A), de 

 M"" Fredholm, est de genre zero. On peut aussi dire que l'ensemble de ses 

 Solutions fondamentales coéincide avec les solutions fondamentales communes 

 à K{xy) et q{xy). 



10. Cherchons à former la fonction q{xy), connaissant N(a:;^) et K{a:y). 



Le problème n'admet pas toujours des solutions. Les deux fonctions 

 permutables symétriques ^{xy) et K{xy) doivent veritìer les conditions sui- 

 vantes: 



Il existe un système de solutions fondamentales de N(a;i/) qui sont 

 aussi solutions fondamentales de Ji{xy). 



Si (p„{x) est l'une de ces solutions nous désigoerons par X„ , i^n ^ '>'n 

 les constantes caractéristiques qui lui correspondent poiir les fonctions K{a!y) , 



q(xy) ^ìHixy). La serie >_-j — r doit converger. 



Gomme on aura «„ = -^^ il faut aussi que y — ^— r converge. 



Unì 



Nous allons montrer que ces conditions sont suffisantes : Si q{xy) existe 

 elle a pour solutions fondamentales les fonctions g)„{x) correspondant aux 

 constantes |W„. 



Un théorème de M"" Lauricella (') mentre qu'il existe une serie de la 

 forme : 



Rixy) = y Cli{a:y) , 

 1 



avec 



Q,(^y) = ''y >"W^-W 



uniformément convergente en x et y, sauf pour un ensemble de valeurs de x 

 et de y de mesure superfìcielle nulle. De plus, cette fonction a pour con- 



(') Lauricella, Alti Lincei, 18 juin 19n. 



