Si lia infatti dalle (7) che nei punti di e è uj — aj . Inoltre ripetendo 

 1 calcoli precedenti 



j^Vi - J^Ui — — 7 -r — 7 — aS 



1^ ,=iJs 1)X 



etc, ed in forza delle (8), (9) 



'Tip 

 7) ce 



etc. D'altra parte sempre dalle (7) si deduce 



I ^ — ~r ^„ + 



"^^ '^2 ^x '^y 'òz 



d C Ui cos -)- U2 cos ni] -{- cos nC 

 dt J(j Anr 



e per la prima delle (9), e poiché al contorno <r è M; = aj, tenuto conto 

 delle (10), si ottiene : 



7^0? 7)y ~^ 47r Js 7)^ \ ^'^ / r 



Ma per / = si ha 



\ 7)2/ 7^ /j=t„ 7».:?? 7)2/ 7>5 



Si deduce, in forza di un nostro teorema precedente ('), che è identicamente 



7Mi , 7^2 , 7'Ì3 „ , ^ , 



'òx l)y 71^ 



8. Per dimostrare che le condizioni (2) sono sufficienti per l'esistenza 

 di una soluzione di (1). appartenente ad iìi, occorre quindi: 



1) Dimostrare che esiste la soluzione di (9) affartenente a Sii. 

 Ciò è dimostrato secondo quanto è stato esposto al n. 3 (*). 



(') E il teorema I (di unicità) della Nota, Sopra un'equazione integro-differenziale 

 del tipo parabolico, Nota I, Eend. Lincei, settembre 1912, pag. 142 e seg. 



(^j Esiste certamente tale soluzione, perchè è soddisfatta la condizione (4) [vedi 

 formula (11)]: e d'altra parte le a,- ammettono per ipotesi (cfr. n. 1) le derivate prime 

 rispetto a t. Anzi poiché in forza delle ipotesi coiitenvite allo stesso n. 1, le ammet- 

 tono le derivate prime, seconde e terze rispetto a t. finite e continue, entro S, per t^to, 



/e o\ 1, VI ^^i D% . , . ,. „ 



cosi segue (cir. n. 3) che anche le t"^ , ~ , , —7^ sono funzioni di Sii . 



ot ot et cH 



Eendiconti. 1912, Voi. XXI, 2° Sem. 66 



