— 509 — 



di funzione caratteristica E{p,q) indipendente da t (e regolare per quei 

 valori degli argomenti p e q che interessa prendere in considerazione). Sia 

 2 una sua soluzione particolare (equilibrio o moto stazionario nell'abituale 

 interpretazione meccanica) corrispondente ai valori costanti dei parametri 

 p e q ■ Senza ledere le generalità, è sempre lecito supporre nulli tali para- 

 metri, di guisa che \a 2 è definita da 



(2) = 0 . = 0 , (« = 1,2 n). 



Lo sviluppo della H nell'intorno di jOj = = 0 mancherà di termini 

 di primo grado in p , q [per l' ipotesi che le (2) costituiscono una soluzione 

 delle (1)] e sarà quindi del tipo 



(3) H = Ho + H,+ - , 



designando Ho una costante, H,(/) , q) una forma quadratica dei 2 n argo- 

 menti p , q {di coefficienti costanti) ed i termini annessi essendo di grado 

 superiore al secondo. 



Riferiamoci al caso generale in cui la forma H2 sia irriducibile, e 

 immaginiamola scissa in tre addendi, ponendo 



(4) ^T(jt;) = H(p,0), 



^-U(^) = H(0,^), 



(5) E, = T:{p)-\]{q) + Bip.q) 



con che B{p , q) risulta bilineare nelle due serie di variabili p e q . 



Il sistema (1) ammette, notoriamente, l'integrale (delle forze vive nella 

 interpretazione meccanica) 



H = cost . 



Da questo fatto segue, con ovvia generalizzazione del ragionamento usato da 

 Dirichlet ('), che la soluzione 2' è stabile allorché H2 è una forma de- 

 finita. 



Ove manchi il termine bilineare B sussiste pure la reciproca, come 

 risulta dalle più recenti ricerche del LiapounofF (^). Ma se B non è identi- 

 camente nullo, la discriminante della stabilità non è piii, in generale, offerta 

 dalla semplice ispezione della forma H, ; questa può benissimo essere inde- 

 finita senza che la 2 sia necessariamente instabile. 



(') Nella classica dimostrazione del teorema, già enunciato da Lagrange, che l'equi- 

 librio di un sistema olonomo soggetto a forze conservative è stabile in ogni configura- 

 zione in cui il potenziale ha un massimo [Cfr. per es. Appell, Traité de mécanique 

 rationelle, tomo I, pp. 324-326; tomo II, pp. 329-332 {i^ edizione)]. 



[^) Journal de mathématiques pures et appliquées, serie V, tom. 3", 1897; e Pro- 

 hlime général de la stabilité du mouvement, Ann. de la Fac. des Sciences de Toulone, 

 serie II, tom. Q", 1907. 



