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2. Illustrazione giroslatica. — Un esempio tipico è dovuto a Lord 

 Kelvin ('). Presentato sotto la forma canonica, esso corrisponde alla funzione 

 caratteristica 



{Q\ . ?2 , ft> costanti positive). 



Si tratta del moto di un punto materiale (di massa 1) soggetto a forze 

 conservative di potenziale U = ,2;^ -f- ^2?/^) , in cui si include la forza 

 centrifuga e riferito ad assi Oxy uaiformemente ruotanti (con velocità an- 

 golare o)). Per essere positivi i coefficienti e , la forza ha, manifesta- 

 mente, carattere repulsivo. La soluzione particolare 2{x = y=p = q = 0) 

 rappresenta lo stato di equilibrio nell'origine delle coordinate. Se gli assi 

 fossero tìssi (e mancasse in conformità il termine bilineare (i){py — qx) che 

 per ft) > 0 tìgura nella H) il carattere repulsivo della forza (minimo del po- 

 tenziale U in 0) renderebbe l'equilibrio essenzialmente instabile. Lord Kelvin 

 ha fatto vedere che la rotazione, purché abbastanza rapida (« abbastanza 

 grande), basta ad assicurare la stabilità: eppure H non è definita, come 

 apparisce dal fatto che essa assume ad un tempo valori positivi e valori 

 negativi (H 0 per x = y = 0 ; H << 0 per p — — wy ,q = wx). 



'à. Il metodo delle piccole oscillazioni. — Condizione succiente di 

 instabilità. — Tuttociò richiamato, veniamo al caso generale in cui può 

 figurare in H2 anche il termine bilineare B(^ , q). Il carattere definito di 

 Hg è sempre sufBciente, ma non più tassativamente necessario per la sta- 

 bilità. L'indagine completa della questione costituisce una diffìcile ricerca 

 che attende ancora esauriente risposta (*). Si possiede tuttavia un risultato 

 fondamentale di Liapounolf (^), ed è il seguente: 



Condizione succiente di instabilità è quella offerta dal metodo delle 

 piccole oscillazioni. 



Nel caso nostro le piccole oscillazioni sono definite dal sistema lineare 



^ dt l>qi ' dt l)pi ' ^ ' 



che proviene da (1) riducendo H alla sua parte quadratica H2 . L'equazione 

 determinante di grado 2 n contiene [per la canonicità del sistema (6)] solo 

 potenze pari dell'incognita X e può quindi essere scritta 



(7) ^(A^) = 0, 



(M Treatise on naturai pkylosophy, pag. 396, n. 345*. 



{^) Veggasi in proposito, oltre alle già citate opere del Liapouiioff, la Memoria del 

 Levi-Civita, Sopra alcuni criteri di instabilità, Annali di matematica, serie III, tomo 5», 

 1901, pp. 321-308. 



(=) Loc. cit. 



