essendo J di grado n in (a coefficienti clie dipendono in modo ben noto 

 dalla forma Hj) ('). 



Basta che aon luite le radici della (7) siano reali e negative^ perchè 

 la 2 preseiiti carattere di instabilità nel passato o nel futuro. 



4. Caso di n = 1. — Per il caso semplice di un sol grado di libertà 

 (/i=l) si ottiene facilmente, una condizione necessaria e sufficiente di 

 stabilità, combinando le due condizioni di cui ai nn. 2 e 3. Si è precisamente 

 condotti alla conclusione espressiva che seguita a valere la regola di Di- 

 richlet-Liapounoff come quando manca il termine bilineare. 



Dimostrazione. — Per n=\ l'espressione piii generale di H2 è 



I \ap^ -\- 2 bpij -f- c(f \ , {a , b , c costanti). 



11 sistema (6) si riduce quindi a 



f^^-ibp + cg). 



e l'equazione determinante a 



b-^X c 

 a b — l 



A= -|- D = 0 



avendo posto D ~ — ac, che è manifestamente il discriminante di . 

 Ciò premesso osserviamo : 



1" che, per D>0, la forma H2 è definita, talché, in base al n. 1, 

 c'è stabilità; 



2° che, per D •< 0 , la equazione determinante ha le radici reali, 

 talché, in base al n. 8, c'è instabilità. 



Collegando questi due risultati (e tenendo conto che il caso D = 0 

 non può presentarsi per forme irriducibili) si è senz'altro condotti alla con- 

 clusione che si ha stabilità od instabilità, secondo che la forma H2 è 0 no 

 definita. Sussiste pertanto la regola di Dirichlet-Liapounoif, 



c . d .d . 



5. Applicasioni al caso della Kowaleosky. — I moti stazionari di un 

 corpo rigido nul caso della Kowalevsky si possono distinguere in tre cate- 

 gorie (2): 



(') Liaponnoff, loc. cit. Più dettagliati sviluppi [riferiti tuttavia ad equazioni la- 

 frangiane, anziché alle equivalenti hamiltoniane del tipo (6)] si trovano nell'opera del 

 Kouth. Cfr. la traduzione tedesca, Die Dynamik der Systeme starrer Kórper [Leipzig, 

 Teubner, 1898], B II, Kap III. 



(") V. Levi-Civita, Sui moti stazionarli, ecc., Rend. Acc. Lincei, voi. X. 



