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calcolo, quello cioè che si trova in dipendenza più immediata col calcolo 

 generale delle operazioni, ha la sua importanza; esso permette di porre fra 

 loro in relazione questioui apparentemente diverse, di sceverare procedimenti 

 e dimostrazioni da complicazioni non di rado parassitarie e dovute alla forma 

 speciale delle espressioni analitiche adoperate, infine di ricorrere più imme- 

 diatamente ai sussidi che forniscono l'analogia e l' intuizione. 



Gli accennati principi generali della teoria delle operazioni lineari danno 

 luogo, come giustamente osserva il Giorgi, ad un'algebra la cui algoritmìa 

 è affine all'ordinaria, differendone principalmente per la mancanza della pro- 

 prietà commutativa della moltiplicazione. Non è però questa sola che sta- 

 bilisce il divario. Anche conservandosi questa proprietà — come nella bella 

 teoria, già ricordata, dovuta al Volterra — . se viene accentuata l'analogia con 

 l'algebra ordinaria pure le differenze si devono al mancare del principio 

 di annullamento del prodotto, e nella teoria generale astratta delle opera- 

 zioni lineari commutabili (^) è appunto di precipua importanza l' interpre- 

 tazione dell'annullarsi di un prodotto di tali operazioni. 



Nell'ordine dei miei citati lavori e della comunicazione dell' ing. Giorgi, 

 si presenta una questione interessante: tino a quale grado, cioè, sia possibile 

 di sviluppare in forma astratta la teoria degli operatori, e a quale punto si 

 presenti la necessità di particolareggiarne la natura, introducendo per essi 

 opportune espressioni analitiche, ad esempio in forma di integrali definiti. 

 Nella presente Nota mi propongo di portare un lieve contributo a tale que- 

 stione, e, nel tempo stesso, per dare un esempio del grado di chiarezza e di 

 perspicuità che l'uso del calcolo degli operatori porta in varie parti della 

 teoria delle equazioni funzionali lineari, di accennare a quest'uso nel capitolo 

 della teoria di queste equazioni che tratta della risolvente, quale è consi- 

 derata dal Goursat nella nota sua Memoria (^), riprodotta, nelle sue parti 

 sostanziali, nel recente trattato del Lacesco (^). 



1. Sia dato uno spazio lineare S; sia A un'operazione lineare univoca, 

 non degenere, operante in questo spazio e producente, come risultato, enti 

 dello spazio medesimo. Per fissare le idee, gli enti di S siano funzioni di 

 una variabile. Per l'operazione A , ammetteremo che y|A"| abbia, per un 

 aggregato di elementi di S limitato nel suo insieme, un massimo limite 

 finito. Sotto a questa condizione, la serie 2h'^A" è, rispetto al pai'ametro h, 



(") Veci, le Note pubblicate dal Volterra in questi Rendiconti, nel 1910 e 1911 ; in 

 particolare la Comunicazione del 20 febbraio 1910. Ved. anche i miei -Appunti di calcolo 

 funzionale, Mem. Accad. Bologna, serie VI, tom. Vili, § III. 



(^) Pincherle e Arnaldi, Le operazioni distributive, Bologna, Zanichelli (1910), cap. Ili, 

 pp. 36-49. 



{^) Recherches sur les intégrales linéaires. Annales de la Faculté des Sciences de 

 Toulouse, sèrie II, tom. I, pag. 5 (1908). 



(*) Introduction à la théorie des équations intégrales. Paris, Hermann (1912). 



