un elemento di funzione analitica; essa, nel suo campo di monodromia otte- 

 nuto dalla serie stessa mediante continuazione analitica ed un opportuno 

 sistema di tagli, dà, per gli elementi di S, un'operazione lineare R = E/, 

 che si dirà risolvente di A . Nel cerchio di convergenza della serie dapprima, 

 poi, per il principio di conservazione delle proprietà analitiche, in tutto il 

 suo campo di monodromia, si verifica immediatamente che la R soddisfa 

 alla relazione 



(1) R — ìiAR = k 

 e all'altra 



(2) R,. — R,= (^-/i)R;,Rft; 



questa ultima, che si potrebbe anche prendere come definizione della risol- 

 vente, è quella stabilita dall'Hilbert {') per la risolvente, sotto forma d'in- 

 tegrale definito, della classica equazione di Fredholm. 



2. Supponiamo che la R, come funzione di h. ammetta un polo di primo 

 ordine; vale allora la decomposizione 



(3) K = ^+P, 



dove B e P sono simboli di operazioni lineari : B indipendente da A , P fun- 

 zione analitica di h regolare per h = c . Sostituendo in (1) e passando al 

 limite, viene 



B — cAB = 0 ; 



questa relazione esprime che » qualunque sia l'elemento di S su cui si 

 « opera, B((p) appartiene ad uno spazio He i cui elementi sono invarianti 

 « (autofunzioni) per l'operazione A , ed il numero <? è il numero invariante 

 * (autonumero) corrispondente". 



Sostituendo la (3) in (2), viene, con sémplice riduzione, 



<4) B^ = B, BP = PB = 0. 



A questo punto si introduce naturalmente il concetto di operazioni or- 

 togonali : due operazioni lineari M , N sono tali quando sia 



MN = NM = 0 ; 



sono semi-ortogonali quando sia soddisfatta una sola di queste relazioni. 



Le due operazioni B e P che si presentano nella decomposizione (3) 

 sono ortogonali. Esse sono senza radici comuni, perchè, ove a fosse radice 



(') Grundzùge einer allq. Theorie der lin. Integralgleichungen (Erste Mitteilmig-)- 

 dott. Nadir., 1904, pag. 71. Cfr. Lalesco, op. cit., pag. 43. 



