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di B e P, questa radice verrebbe ammessa anche dalla R; ma A è supposto 

 non degenere, cioè senza radici: qumdi, per la (4), deve esseie tale anche R. 



Da ciò, per un teorema generale sulle operazioni permutabili senza radici 

 comuni ('), segue che ogni elemento 9) di S può decomporsi nella forma 



dove fi è radice di B, e tt radice di P. Ma, con ragionamenti dei più ovvii, 

 si ha l;i seguente catena di osservazioni: 



ogni B{(p) è un , elemento invariante di A relativo a c ; 



ogni radice di P è un elemento r] ; 



ogni elemento n è della forma B(q)) ; 



la decomposizione dì <p in ^ -\- n è unica; 



ogni elemento t] è radice di P; 



onde le radici tt di P sono tutti e soli gli elementi invarianti di A 

 relativi a c. Si ha dunque che « lo spazio S è decomponibile univocamente 

 » in due spazi S, ed H^. ; il primo è lo spazio radice di B, il secondo lo 

 » spazio degli elementi invarianti relativi a ^ ed è generato dall'applicazione 

 * di B sullo spazio S » . 



3. Ammettiamo ora che lo spazio sia ad m dimensioni, e sia 



una sua base. Essendo (p un elemento qualunque di S , sarà 



(5) B{(p) = (?i -j- Ci rj2 -\ c„. r]m ■ 



Per essere r]i risultato dell'applicazione di B ad un elemento di S , e 

 per essere B"^ = B , viene B(?;,) = jy, . 



I termini Cir]i della (5) possono riguardarsi come il risultato di una 

 operazione lineare C; applicata a y ; la costante Ci è risultato dell'opera- 

 zione — C;. Per la loro definizione, le operazioni 0, soddisfano alle relazioni 

 Vi 



(6) C? = C/, GiGj = 0; 



la B è decomposta nella somma 



B = Ci -j- C2 -|- •• 

 di operazioni aventi le proprietà (6). 



Ma poiché la — C,- è un'operazione lineare che trasforma un elemento 

 rji 



funzionale in una costante, essa è rappresentabile, sotto condizioni larghis- 

 sime, nella forma 



(7) -C.-(9))= r%{y)(p(y)dy , 



Vi ^ a 



(') Piiicherle e Arnaldi, op. cit,, pag. 37. 



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