— 57(3 — 



come ha dimostrato il Précliet sulle traccie dell'Hadamard. Ne viene 

 pei' B l'espressioue 



(8) B= rK{x,y)cp{y)dt, 

 con 



m 



(9) K(a;,«/)- 



Dalle proprietà (6) consegue molto facilmente la biortogonalità delle 

 funzioni (/^ ed ; è notevole come si sia così ricaduti, partendo da considera- 

 zioni di indole astratta, sulle espressioni integrali usuali e sulle proprietà che 

 loro appartengono. Si tralascia la ovvia generalizzazione ad un numero ar- 

 bitrario di poli di R di ordine qualunque. 



4. Dando alle operazioni la forma integrale, il concetto di operazioni 

 ortogonali si traduce in quello, indicato dal Goursat, di nuclei ortogonali. 

 Su questi, si hanno alcuni teoremi dati appunto dal Goursat (^) e riportati 

 dal Lalesco nella citata opera (^) ; ora, questi teoremi si estendono, per via 

 astratta, ad operazioni lineari in genere in modo così semplice ed affrancato 

 da sviluppi di calcolo, che, nonostante il loro carattere elementare, mi pare 

 valga la pena di accennarne la dimostrazione. 



11 primo di questi teoremi consiste in ciò : se A e B sono operazioni 

 fra loro semiortogonali, cioè soddisfanno ad una delle due relazioni AB=0 

 0 BA = 0 , i numeri invarianti di A -]- B sono tutti e soli quelli di A e 

 di B. 



a) Sia c numero invariante di A -f- B ; avrà di conseguenza soluzione 

 l'equazione 



9) — c (A + B) 9? = 0 ; 

 se è BA = 0 , si applichi la B ; viene 



Bg^— tfB^5^ = 0 , 



onde segue, o Bg) = 0 , ma allora è y — Gk.(p = ^ e c numero invariante 

 di A, oppure (1 — tfB)B5p —0, e allora c è numero invariante di B. 

 b) Inversamente, sia c numero invariante di A : 



(f — ck(f = 0 . 



Se è BA = 0 , viene 



(l-c(A4-B))Ag=0, 



(') Sur les opérations linéaires, Transactions of the Araeric. Math. Society, tom. 5 

 (1904), pag. ;96. 



(«) Compt. rend. de T.-Vcad. des Sciences. Paris, tom. 145, pp. 667, 752 (1907). 

 (^) pp. 41-43. 



