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lora esistono pure tre funzioni di Qi : 2/1 , Uì , 1/3 , che verificano al 

 sistema 



,=\JS òt 



= Vj{x , y ,s , t) y = 1 , 2 , o , 



ed assumono per / = valori di ih ,112,^. 



Precisamente le uj si ottengono dalle tvj mediante le formule 



(16) Uj{x ,y,s,t) = hj{x ,y,s)-\- f Wj{x ,y,s,T)dT. 



Infatti nell'ipotesi stabilita si ha da (15): 



Wj {x , y . s ,%) dT -\- 



+ y {Wj{ì,r^,ì;.f)-kjCS,'q,Z))(}ij{^,rj,ì:\x,y,z)d-^dridì; = 



= vj{x ,y ,s ,t) — Vj{x ,y ,s,to), 



da cui. posto mente alle (16): 

 Uj{x .y,s,t) — hj{x , 1/ , ^) + 



+ -t/s ( ^'''"^^ '-^i ' ^ ' - ^ ^ - GnÀ^-.V^^Ì^^y^^) dì dr^di = 



= vj{w ,y,z,t) — Vj{x ,y.z,Q, 

 e finalmente, tenuto conto delle (14). si deduce: 



uj{x ,y,2,l)-^y j "^^'(^ • ^ ' Gij{ì ,r] ,^x ,y , s) d^drjd^ = 

 ~iJs ot 



= vj{x , y , 2 , t) . 



Le Uj definite dalle (16) verificano quindi alle (7), ed assumono -per t = to 

 i valori di hj . 



Kesta a di mostrare che le uj sono funzioni di Sii : infatti, poiché le Wj 

 sono, per ipotesi, funzioni di U , le Uj (cfr. le (16)) sono funzioni derivabili 



~òU ' 



rispetto a t . colle derivate -r;^ . continue e limitate senza eccezione entro S, 

 per i^to'. inoltre dalle (7). ricordando che le sono funzioni analoghe 



~Ì)U ■ 



a quelle di Green, e che le — sono, come abbiamo visto or ora, continue 



e limitate entro S . risulta immediatamente che le uj ammettono le derivate 

 parziali dei primi due ordini rispetto a x . y ,z e queste sono continue e 

 limitate entro S per t to, etc. 



