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11. Tenendo presente quanto è stato detto al n. 8 risulta quindi che, 

 perchè il problema enunciato al n. 1 sia completamente risoluto, basterà 

 che si dimostri che esistono tre funzioni di Sì: Wi , ic^ che verificano 

 al sistema (15) ed assumono per t = to i valori di , , k^ . 



Perciò mostreremo: 

 1) Che al sistema (15) sono applicabili i risultati contenuti nella 

 nostra citata Nota E {Estensione di alcuni precedenti risultati). 



2) Che è soddisfatta la condizione, ivi stabilita, necessaria e suc- 

 ciente per l'esistensa della indicata soluzione. 



12. Cominciamo col dimostrare che il sistema (15) rientra in quelli 

 studiati nella nostra Nota E , ora ricordata. 



Infatti le ^^^^ '^"^'^) /= 1.2, 3 sono (cfr. la nota (2) al n. 8., 



pag. 507) funzioni di e quindi continue e limitate entro S. per t ^to. de- 



rivabili rispetto a i , colle derivate -^—j- continue e limitate nello stesso campo. 



~òt 



Inoltre le 



Gij{x ,y ,z\i .ri Go-(f , j; , CI ^* , «/* , «*) d^ dr] c?C, 



costituiscono entro S funzioni continue e limitate di una coppia di punti 

 in S, non tutte identicamente nulle. Se ^[^,rj,^) è una funzione inte- 

 grabile, insieme al suo quadrato, in senso di Lebesgue, nel campo S . le 



Js 



yff , 1? , n Gij{x .ìj,3\^,r].^)d^dr] f/C . 



costituiscono funzioni di x,y,s continue e limitate entro S. 



Infine sia X„ una radice (semplice o multipla) del determinante di 

 Fredholm, relativo al sistema dei nuclei Gij{^ ,1] . y . z). esisteranno 

 allora tre funzioni ipì„{x .y,z), xpi„{x ,y,z), ^%n{x .y.z). che verificano 

 al sistema: 



(17) t(Jj„{x , «/ , ^) + A„ y r ilJi„{§ .7] Gij{^ , .C\x ,y , z) d^ dr] d^ = 0 



./=1,2,3. 



Dico che è A„ -< 0. Infatti, dalla (17), prendendo il J"^ da ambo i 

 membri, posto mente alle solite (5), (6). Si deduce 



<18) - = ^ , J^ip,„ - l,xp,,, = ^ , 



ùX i^y 



Hi--xDicoNTi. 1012, Voi. XXI, 2° Sem. 



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