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Matematica. — Sopra le vibrazioni armoniche smorzate di 

 un corpo elastico immerso in un fluido. Nota di E. Laura, pre- 

 sentata dal Socio 0. SOMIGLIANA. 



Questa Nota sarà pubblicata nel prossimo fascicolo. 



Matematica. — Derivate successine di una funzione di piti 

 variabili. Nota di Guido Fubini, presentata dal Socio E. D'Ovidio C). 



Per rapidità di locuzione, noi diremo che una funzione gode in gene- 

 rale di una certa proprietà per dire che essa ne gode in ogni punto, escluso 

 al più un aggregato di punti di misura nulla. Analogamente, quando diremo 

 che im certo ente (punto, oppure retta x = cost, oppure retta y= cost, ecc.) 

 è generico, intenderemo che gli enti esclusi formino un aggregato di misura 

 nulla. Queste locuzioni abbreviano molti enunciati e dimostrazioni. 



Il teorema, che dimostreremo e che senz'altro si estende a funzioni di 

 variabili, è il seguente : 



Sia f{x , y) una funzione delle x ,y; esistano per un qualche valore 

 di n le — — , — — (e quindi anche le — - , — - per m <. n). 



~ò"f 



La sia integrabile insieme al suo quadrato (*) e su una retta 



X — - cost generica l'integrale di -^-^ dy relativo a un qualsiasi segmento^ 



tutto interno al campo considerato, sia uguale alla differenza dei valori 



di — negli estremi del segmento, 

 òy 



Una proprietà analoga valga per . 



Allora la funzione f{x , y) possiede in punti generici tutte le deri- 

 vate parziali di ordine m<^n, soddisfacenti al teorema deW invertibi- 

 lità dell'ordine delle derivazioni, integrabili insieme al loro quadrato. 



E per esempio j dx su una retta generica = cost (/ì>>0; 



(') Pervenuta all'Accademia il 20 ottobre 1912. 



(») Da ciò segue già (cfr. la Nota dell'A.: Sugli integrali multipli, in questi Ren- 

 diconti 1907) che tali derivate sono linearmente integrabili su una retta generica a' = cost 

 oppure y — cost. 



