k-\-k vale la differenza dei valori di ^ ^ nei 'punti [x% , y) 



e (xi , %j). 



Le derivate di ordine n — 2 sono in ogni punto finite e continue ; 

 le derivate di ordine n — 1 sono funzioni delle x finite e continue su 

 una retta y = cost generica, funzioni della y finite e continue su una 

 X — cost generica. 



Le ipotesi fatte sulle derivate di ordine n sono già soddisfatte nel caso 

 generalissimo in cni tali derivate sono limitate. Sia Q un quadrato interno al 

 campo da noi studiato e limitato da rette generiche, che, senza diminuire la 

 generalità, possiamo supporre essere le rette x = Q,x = n,y = 0,y = n. 



Tra le funzioni (p{x , ?/), tali che sul contorno di Q la e le — ^ , 



per m^ n — 2 assumano gli stessi valori della /' e derivate, che altrettanto 

 avvenga in generale per m = n — 1 , che le derivate di ordine m = n 

 soddisfino entro Q alle stesse proprietà presupposte per le derivate analoghe 

 della f{x,y), scegliamone una che entro Q possegga (') tutte le derivate 

 parziali (di ordine anche maggiore di n) finite e continue. Noi sostituiremo (^), 

 com' è lecito, allo studio della f{x , y) quello della v{x , y) = f{x , y) — (f{x , y), 

 che soddisfa alle condizioni imposte dall'ipotesi del nostro teorema alla 



f{x , y), che di piii si annulla sul contorno di Q insieme alle — ^ , 



per h <.n — 2, ed è tale che queste derivate si annullano nei punti gene- 

 rici del contorno di Q per h = n — l. Imporremo alla v{x , y) le condi- 

 zioni v{ — X ,y) = — v{x , y) , v{x , — ?/) = • — v{x , y) , v{x -j- 27i: , = 

 = v{x , y) , v{x , y -j- 2n) = v[x , y) che ne definiranno il prolungamento 

 in tutto il piano. 



Potremo porre nel senso di Hurwitz entro il quadrato R definito dalle 

 0<.£c'<.7r , 0^^<.7r: 



(1) v{x ,y) '^^a^q^m'px i%xipy\ 



r r \/ ^'^(p \^ / ^'^v 



(') Basta scegliere p. es. quella (p{x,y) per cui J Jq|('^) '^\^)\'^^'^^ 



ha il minimo valore (cfr. la Memoria dell'A. nei Kend. del Circolo Matem. di Palermo, 

 tomo 23). Si potrebbero anche usare i metodi dati da E. Levi a pag. 79 e seg. della 

 Mem.: I problemi dei valori al contorno ecc.» Mem. dei XL (1909). Così si potrebbe 

 anzi ottenere che sul contorno di Q la vix , y) fosse nulla insieme alle derivate di ordine 



(2) Se n = 2, si potrebbe più semplicemente porre 



^p{x , y) = f{x , y) + AO , 0) - f[Q , y) - f{x . 0), 



e quindi 



v{x , y) = ^){x ,y) — - tp{x ,rr) — - ip{Ti , y) *p{n , n). 



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