dove la serie al 2° membro è convergente in media, e definisce la v[x,y), 

 eccettuato un aggregato di punti di misura nulla ed è integrabile (') ter- 



(') Essendo v{x , y) integrabile, per un teorema di Fatou è 



v\x , y) dx dy — 1 a^pq . 



La dimostrazione degli enunciati del testo (teorema di Fischer-Riesz) si compie sempli- 

 cemente con un metodo da me già dato nella citata Memoria di Palermo. Poiché 2a^pq 



converge, sarà lim ^ ^ = 0. L'apice indica qui che nella sommatoria almeno uno 



>i—oo p—fi q—ri 



degli indici p ,q appartiene all'intervallo corrispondente (k ,oo). Posta questa sommatoria 



, - j. 



uguale a p», potremo trovare degli interi crescenti Qn^ , Qn^ , ... tali che^ 9 3 converga. 



i * 



Sàra 



r r f "-i \ì 



(a) 1 "'PI qy ~ y ^Pi **en qy > dx dy ^ n'^i'n^ , 



cosicché il gruppo Gn^ di punti, ove la differenza tra j ! supera in Talore assoluto la 



1 1 

 n ha misura minore di q^.. E l'aggregato f»;^ = + 6»^^^ + G„^_^, + • • • ha mi- 



± ± ± 



sura inferiore a I^ft = P»^^.i + Pn^^^a + Poiché contiene -T»,^^, , qualunque 



sia h, e poiché lim Eh — O, l'aggregato F comune a tutti gli aggregati ha misura 

 nulla; e in un punto non appartenente a P é, a partire da un valore della i abbastanza 

 grande 



^ Opu sen px sen qy — ^ apq sen px sen qy 



Se noi dunque nella serie del testo aggruppiamo i termini in guisa che 



n.+ì 



y ttpq sen px sen qy ■ 



p.q=l 



y ttpq sen pu; sen qy 



sia il termine generale della nuova serie ottenuta, questa, per l'ultima disuguaglianza, 

 convergerà assolutamente in un punto generico, cioè non appartenente a F. Per (") e per 

 la nota disuguaglianza di Schwarz la serie degli integrali dei valori assoluti dei termini 

 di tale serie converge ; e quindi la serie é integrabile termine a termine. Anzi la serie 

 ottenuta integrando la (1), che noi sappiamo cosi convergere quando i termini sono ag- 



