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io dico che quindi convergono assolutamente ed uniformemente le serie 

 ^ p^q'^^-^a^cj ^ sen px ^ sen qy 



cosmee ( cos qy 



dove è scritto indifferentemente il sen/Jcc o cos;JX', il sen ^'y o co^qy. 

 Infatti 



sen px \ sen qy 

 cos qx \ cos qy 



h+\ .-.m—h+i , 



sen / sen qy 



V \ q 



cos px \ cos 



p ( q 



sen ^2/ 



cos qy 



q 



ym—h+l 



a,. 



p r p \— q 'J q 



e la serie ^ {p^'-'^\j'^~'''~^^apqy dell'ultimo membro converge, perchè h-\-l-\- 



m — li-\-l = m-\-2 per ipotesi. Le nostre serie definiscono dunque 

 funzioni continue, le quali saranno pertanto le derivate della v di ordine 

 m — 2 . Kesta così provata una parte del nostro teorema. Per comple- 

 tare la dimostrazione consideriamo le serie per m 



w 



V i sen px { sen qy 



\ r^h-hi f,m—h—l . 



Ipq 



{ cos px \ cos qy ' 



( + cos px ( + cos qy 

 { — sen px i — sen qy, 



dove nella seconda è scritto cos px, se nella prima è scritto sen , ecc. 



La prima serie come ora si è dimostrato, definisce una funzione finita 

 e continua; la seconda una funzione integrabile insieme a , perchè con- 

 verge la serie dei quadrati dei coefficienti (perchè h-\- \ -{- m — h — 1 = 

 = m <.n). Sarà: 



rx ry 

 'o 



t dx dy = '^f'-^^q 



m—h-¥\, 



ipq 



V . . ^ 



Z— r q ""PI \ 



dx \ 



0 ' 



( B%^pw 



cos px 

 sen px Jr) 



sen qy 



dy 



S qy 

 \ — sen qy 



p 



] cos px 



\ p 



1 I cos qy 



P 



