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Gli inconvenienti inerenti ai due metodi dipendono, pur essendo di 

 specie diversa, dal voler definire le classi considerate come enti assoluti 

 nel campo totale delle nozioni logico-scientifich.e. Se osserviamo che le nozioni 

 in un dato ramo scientifico vanno ordinatamente crescendo e che il campo 

 totale delle nozioni è a noi necessariamente ignoto, si comprende facilmente 

 che certe classi saranno suscettibili di varie forme di definizioni a seconda 

 del campo già noto di nozioni; vale a dire, queste classi saranno definibili, 

 non in modo assoluto, ma relativamente ad un certo campo di nozioni. Sta- 

 bilita questa relatività, le classi vettore, ecc., possono esser definite come 

 classi semplici in modo da togliere gli inconvenienti logici e pratici ad un 

 tempo. Ciò è quanto mi propongo di esaminare in questa Nota. 



1. Essendo u una classe, diremo e relazione per gli ii " Relw, al posto 

 di » operatore che trasforma gli u in classi formate con gli u » (funzione 

 polidroma): 



[1] M£Cls.O.Relw = (Cls'i<)FM (1). 



Se x , y sono elementi di u, si dice che x & nella relazione a con y « 

 quando xsay {x è un ay), e quindi gli ordinari simboli = , ^ , ... di re- 

 lazione, sono espressi dal simbolo composto sa. 



Una relazione per gli u si dirà nonnale, Rei Norm u , quando è rifles- 

 siva, simmetrica e transitiva (come eguale a, simile a, parallela a, ecc.) : 



[2] jifCls.O. 



Rei Norm u — Rei unus\x,ysu. Ox,y : xsay . = . ax = ay\. 



Essendo a una Rei Norm indicheremo con R(« , a), classe di Russel, 

 la classe i cui elementi sono le classi ax variando a; in m, e con ^{u,a) 

 la classe formata da tutte le classi simili ad R(m , a), cioè da tutte le 

 classi che possono porsi in corrispondenza univoca e reciproca con 

 la classe ^{u , a) : 



[3] u £ Gls . as Rei Norm u .0 . R{u , a) = \ i (ax) \x\^U , 



[4] usGìs . as Rei Norm u .3. *(« , «) — CIs n g; { y F R{u , a)\ rcp . 



Se, ad es-, u è la classe retta e a è la relazione parallela a, allora 

 R(m , a) è la classe s/é^/a di rette parallele; una delle ^{u , a) è la classe 

 direzione o punto all'infinito. 



2. Sia '?l9 un complesso (classe) di nozioni logico-scientifiche, cioè 

 enti 0 relazioni o funzioni logiche, enti o relazioni o funzioni geometriche, 

 analitiche., ecc. La classe ©I? può essere formata da tutte le nozioni che 



(') Faccio uso dei simboli del Formulario di tì. Peano. Per la definizione di fun- 

 zione cfr. Proprié'és formales. pag. 142 (nota a piè di pagina). 



