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campo 919 e di detìnire effettivamente, e rispetto al campo ©I?, le ordi- 

 narie classi considerate al principio di questa Nota. 



Se, essendo u una classe e a una EelNormw, non esiste una ^{u,a) 

 che sia classe semplice in <ì)Xd, allora esiste una sola <i>{u,a) che è sem- 

 plice in un campo piit ampio di ©co ('): 



[8] M £ Cls . a £ Rei Norm 2< . - g { ^{u , a) n Cls - Cls 'g)l£>)( . 0 , 

 Nnm , a) n y s a j Campo n ©V? [2>V 0 ©Is) . y £ Cls '(©V- Cls '©V)]}] = 1. 



Neil' ipotesi ora fatta, l'unica ^{u, a) della quale atfermiamo l'esistenza, 

 non è definibile nominalmente nel campo ©C9, e, come tale, può esser chia- 

 mata t classe astratta, rispetto ad ©^9, determinata da u e a brevemente, 

 Abs (g)c£> , u , a): 



[9] Hp [8] . 0 . Abs {9X9, u, a) = 



1 , «) n y s a )Campo n [©VO ©ì:^ . y £ Cls '(©V- Cls '£)V)] {] • 



Sia, ad es., ©li> il campo delle nozioni logico-geometriche contenute 

 nei libri di Euclide. Se m è la classe retta e a la relazione parallela a , 

 allora l'ipotesi della [8] è verificata e Ahs{^X9 , ic, ce) è l'ordinaria classe 

 direzione. Sia u la classe coppia di punti e « la relazione tale che per 

 A,B. punti arbitrarii, a{A , B) è la classe formata dalle coppie (X, 7) 

 tali che 



" punto medio tra ^ e 7 » = « punto medio tra 5 e X » ; 



allora l'ipotesi della [8] è verificata, e Abs (©(9 , m , a) è l'ordinaria classe 

 vettore. 



5. Valga l'ipotesi della [8]. Una relazione tra gli elementi (semplici 

 in della nuova classe Ahs(S>l£> , « , «) e la classe R(?/ , a) vien stabilita 

 da una corrispondenza univoca e reciproca f tra le due classi, corrispondenza 

 effettivamente esistente perchè Abs (£)tc> , , «) è una delie ^{u,c(). Giova 

 peraltro notare che delle f ne esistono infinite. 



Se X è un M allora f{ax) è un determinato elemento di Ahs(<S>Ì£>,u .a) 

 che, per essere a relazione normale per gli u, coincide con f{ccy), qualunque 

 sia l'elemento y di ax . Indicheremo con l'operatore (univoco ma non 

 pili reciproco) tra gli u e gli Abs (©"fe , m , a); tale che, per x elemento ar- 

 bitrario di si abbia sempre 



fu,(xX — f{ax) ; 



[10] Hp [8] . ft j Abs (©le, , M , «) F , «)} rcp . D . 



A,a = *[Abs (©X9 .U,a)¥un(f3\xsu.'dx.(pX= f[ccx)\'] . 



Q) Analogo ai postulati esistenziali dei quali si fa uso in geometria per passare 

 dalla geometria della retta, a quella del piano, da quella del piano a quella dell" spazio 

 (ecc. per spazi a iiiù di tre dim-jnsioiii). 



