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L'operatore /»,a stabilisce una delle iotìnite relazioni tra gli u e gli 

 Abs (©Xs» , M , or) ; e per x , y elementi arbitrarli di u gode della proprietà 

 seguente : 



[11] fu,aX = fu,a.y • = ■ÌJ^ax. 



Per il primo degli esempì considerati alla line del n. 4, fu,a. è l'ope- 

 ratore direzione di o punto all'infinito di: la [II] esprime che due rette 

 hanno egual direzione solamente quando sono parallele. Per il secondo esempio, 

 fu,a{A . B) equivale alla notazione, di Hamilton e di Grassmann, B — A, 

 e quindi indica il « vettore da ^ a 5 ' ; la [11] esprime che B — A = Y — X 

 solamente quando A -j- Y= B -\- X, cioè solamente quando i segmenti AY, 

 BX hanno a comune il punto medio. 



6. Da quanto abbiamo esposto risulta chiaramente come si possano 

 definire per astrazione le classi astratte rispetto al campo 2>C9- Fissato 

 il campo <i)1s> , data la classe u e la. relazione normale a per gli u , consta- 

 tata l'inesistenza di classi ^{ic , a) semplici in ©I^, allora si può affermare, 

 in virtù del postulato [8], l'esistenza e l'univocità di una nuova classe 

 Abs , u , a) in un campo g>V clie, al minimo, risulta formato dalla 

 somma logica di 'DX9 con la classe Abs , « , a). Dopo ciò, è possibile 

 collegare gli R{u , a) con gli Abs (9l9 ,u.a) mediante uu operatore / uni- 

 voco e reciproco; da questo si ricava l'operatore /^.a, univoco ma non reci- 

 proco, che collega gli u con gli Abs(©l9 , u , a). Che ciascuno di tali colle- 

 gamenti non possa farsi in un sol modo è evidente ; altrimenti. Abs (©Io , u . a) 

 sarebbe definibile nominalmente come classe semplice in ©Ir. 



Tra questa conclusione e il collegamento ordinario tra gli u e gli 

 Abs (©"fe , M , a) vi è una apparente contraddizione. Ad es.: nel comune lin- 

 guaggio geometrico si ammette implicitamente, anzi instintivamente. che 

 « punto all'infinito della retta x " sia un ente X univocamente determinato 

 dalla retta x. Ora a ciò siamo condotti da una imperfetta analisi della que- 

 stione. Invero: sia § un operatore uniooco & reciproco che trasforma punti 

 all'infinito in punti all'infinito; le ordinarie proprietà del parallelismo non 

 subiscono la benché minima alterazione se §X, e non il supposto ente X, 

 si considera come punto all' infinito di x . 



7. Forme rudimentali di definizione per astrazione sono usate : da Eu- 

 clide per la definizione di rapporto ; dai fisici per la massa, tempera- 

 tura, ecc.; da G. Cantor per la definizione di numero cardinale e numero 

 ordinale ecc. {'). 



Nel l'ormulario Matematico di G. Peano, si procede, in sostanza, 

 così: si considera, da prima, una della quale peraltro non si dà defi- 



(') Secondo G. Cantor, la nostra classe Abs . 1 «) vien definita corno " quella 

 idea generale che per mezzo della nostra attiva facoltà di pensare si deduce da m e da « ». 



