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Dizione formale; la relazione [11] tra la f,,,^^, e la « si stabilisce per defi- 

 nizione; si ammette implicitamente che la [11] basti per definire la /" e 

 la classe Abs(S>X9 ,u,a). Che per tal via non si possa raggiungere lo scopo 

 resta evidente pensando alla pluralità delle f (pluralità inevitabile) e alla 

 pluralità delle <ì>{u , a) (pluralità che si evita introducendo il campo g>i:? e 

 le classi semplici in tal campo). 



Il principio logico da me inserito nelle Notes degli ÉLéments de calcul 

 vectoriel, non è logicamente preciso, ma si rende esatto introducendo il 

 campo <E)l3, l'ipotesi della [8] (elementi sottintesi nelle ordinarie defini- 

 zioni e che era necessario analizzare, come ho fatto, per poterne far uso 

 esplicito) ; e inoltre : sostituendo a » il existe alors une classe unique v et 

 une fonction unique /" " la frase « il existe alors une classe unique y, simple 

 par rapport aii domaine 'DId , et une fonction / ». 



L' inesattezza logica delle forme comuni di definizione per astrazione, 

 è indiscutibile; esse devono dunque essere abbandonate e credo che possano 

 esser convenientemente sostituite (sia nel campo scientifico, sia in quello 

 didattico) dalla forma indicata io questa Nota 



Alcuni ritengono, col Russell, che le R(« , a) debbano, in ogni caso, 

 essere sostituite alle ordinarie intuitive ed instintive classi semplici, che, 

 esattamente, sono le classi Abs (£)to . m , a) dame individuate. Ora ciò non 

 è ammissibile. Non praticamente, perchè alle R(m , a) manca l'usuale ca- 

 rattere di classe semplice, e gli enti definiti successivamente con le R di- 

 vengono ben presto cosi complessi da risultare immaneggiabili. Non logica- 

 mente, sia perchè quando esistano classi semplici v appartenenti a ^{u,a), 

 non pare possibile stabilire un criterio generale di scelta tra le y e R(m , a), 

 sia perchè una stessa classe può essere rappresentata da classi R(m , «) in 

 modi diversi. Ecco un esempio di questo ultimo caso: La classe numero 

 intero è data quale R(m , a) da una classe i cui elementi sono classi for- 

 mate da classi finite, tutte simili tra loro (classe di classi di classi!) ('); 

 la classe razionale è data quale R(m , a) da una classe di coppie di numeri 

 interi (e, quindi, da una classe di coppie di classi di classi!!); ma per le 

 esigenze del calcolo formale algebrico l' intero a deve potersi identificare 

 al razionale ali, e quindi una « classe di classi di classi » viene ad essere 

 identificata ad una ^ classe di coppie di classi di classi «; il che è assurdo. 



(') Per il numero uno si ha, ad es., 



\ ~ Cìan u3 \ ':^u . X ,y £ u . '^x.y ■ s = y\ , 

 contrariamente alle più comuni idee che si annettono al numero uno. 



