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terminanti ('), oltre ai risultati che ho esposto nelle precedenti ricerche sugli 

 operatori funzionali (^). Si riconoscono quindi le seguenti proprietà, che mi 

 limiterò a enunciare, senza trattenermi sui metodi di dimostrazione, non 

 difficili a immaginare. 



Anzitutto, il campo di convergen/ca di ciascuno degli integrali (1) è un 

 semipiano limitato da una parallela all'asse immaginario, e include almeno 

 il semipiano delle positive, e può eventualmente estendersi anche a coprire 

 r intero piano complesso. In tutti i punti interni, al senso stretto, a esso 

 campo di convergenza (e, in ogni caso, anche in quelli dell'asse immaginario, 

 quando pure formi frontiera), la convergenza è inoltre assoluta; e sono verificate 

 (questa volta escludendo l'asse immaginario, se forma frontiera) le condizioni 

 di continuità e monogeneità. Quindi, nell' interno dei loro semipiani di con- 

 vergenza, le (2>(A) , ^(A) risultano analitiche e olomorfe; e sulla rispettiva 

 linea di frontiera hanno almeno un punto singolare (che però non può essere 

 un polo, se la linea è l'asse immaginario). Le funzioni così definite, sono da 

 immaginarsi completate con tutto il prolungamento analitico di cui sono 

 eventualmente suscettibili; salvo, se questo conduce a molteplicità di rami, 

 separarli mediante tagli secondo .semirette parallele all'asse reale, che dai 

 punti di diramazione vadano nel senso delle ^ negative, e scegliere come 

 ramo principale quello che contiene i valoii dati dalle (1) direttamente (^). 



(') Cfr. Pincherle, Sur les fonctions déterminantes, Annales de l'Ecole Nurm. Super., 

 T. XXI (1905), pp. 9-68; Alcune spigolature nel campo delle funzioni determinanti. 

 Atti del IV Congresso Internaz. dei Matemat.. Roma (1908), voi. II, pp. 44-48; e l'articolo 

 dello stesso autore sulle Funktional-Gleichungen und -Operationen nella Enc3'kl. d. Math. 

 Wiss., Bd. II, Tl. I, A 11 (Leipzig, 1906). 



(^) Ved. la Memoria citata Sul calcolo etc, parte II, §§ 5, 6 ; parte III, §§ 7, 8, 

 e parte V. 



(^) La ragione di questa scelta sta nella struttura delle formole cosiddette di valu- 

 tazione definita o fondamentale, che si devono poi applicare per la calcolazione dei risul- 

 tati; cfr. le formole (7), (_§) della Nota precedente, tenendo conto di quanto è detto nella 

 parte Ut della Memoria Sul calcolo etc. Le funzioni #(A) , "fCA) devono figurare sotto 

 il vincolo di integrali definiti, il cui percorso d'integrazione nel piano complesso è una 

 linea soggetta alla condizione di essere riconciliabile col semicerchio infinito di destra 

 di esso piano. E da osservare che la constatazione dell'olomorfismo nel semipiano ^ > 0 

 vale solamente pel ramo principale così definito. Questa constatazione — e, in termini piìi 

 generali, quella della analiticità delle *(A) , V[ò.) — è necessaria conseguenza del fatto 

 che \e (p ,%p sono integrabili fra 0 e -|-oo, e che si annullano per valori negativi del 

 loro argomento: cioè che gli integrali (1) non hanno contributo di elementi dati da valori 

 negativi di 6. Fisicamente, si risolve dunque in una condizione di successione, la quale 

 esprime che, in ogni caso, l'effetto ereditario non può mai precedere la causa che lo pro- 

 duce; ed è condizione certamente verificata in ogni fenomeno, qualunque siano le parti- 

 colarità ulteriori della legge ereditaria che l'esperienza può di volta in volta rivelare. 

 Gli altri rami diversi da quello principale, non soddisfano in generale alla condizione di 

 successione: quindi non hanno interesse per lo studio dei fenomeni ereditari; soltanto 

 l'insieme della funzione con tutti i suoi rami può intervenire in ricerche sulle vibrazioni 

 dei sistemi liberi. 



