— 685 — 



Precisata così la defizione delle funzioni e del loro campo di esistenza, 

 la discussione ulteriore dei loro caratteri dipende da questa relazione : che 

 le proprietà al finito delle ^ , dipendono da quelle all'infinito delle (f ,^lJ , 

 e reciprocamente ('). 



In particolare, l'ascissa della linea di frontiera del campo di convergenza 

 di cui sopra, cioè l'ascissa del punto singolare più vicino all'asse reale, si 

 deduce dal comportamento asintotico della rispettiva (p{6) o ip{d) . Così, se 

 (p[d) per 6 = -\-ao si comporta come Q, e~^^ (-f- eventuali termini a decre- 

 scenza maggiormente rapida), dove C sia una costante, o una funzione a 

 comportamento asintotico algebrico (cioè che non cresca o non decresca più 

 di una potenza positiva o negativa di 6), allora la detta ascissa, per la fun- 

 zione A) , è uguale a — A ; se (f{tì) ha comportamento asintotico più ra- 

 pidamente decrescente di qualunque funzione esponenziale, p. es. se si an- 

 nulla all' 00 come Ce l'ascissa in questione è = — oo , cioè la (PC A) 

 risulta una trascendente intera. Previsioni più generali, valevoli in casi meno 

 semplici, si possono ottenere applicando, sia un noto teorema di Landau, sia 

 altre formole asintotiche deducibili con procedimento analogo a quello di 

 Cauchy-Hadamard che dà il raggio di convergenza di una serie di potenze. 



Quando in pratica (come si fa comunemente) si trascurano le azioni 

 ereditarie da un'epoca remota in poi, le ^(A) , ^^"(A) risultano di necessità 

 trascendenti intere. E se si ammette che l'esperienza non possa mai deci- 

 dere sull'esattezza di questa supposizione, o che con lo scegliere sufficiente- 

 mente remota l'epoca in questione sia conseguibile qualunque approssima- 

 zione prelissa, si deve anche ritenere che la sostituzione delle <I'(A) , ^•'(A) 

 con opportune trascendenti intere è sempre permessa, senza conseguenza 

 accertabile sui risultati. Questa osservazione elimina la necessità della ricerca, 

 altrimenti assai complicata, di tutti i punti singolari al finito delle fun- 

 zioni (I>,*P. Ma qualora, per opportunità di certi calcoli, o per altre par- 

 ticolari ricerche, convenga trattare le funzioni medesime come non prive di 

 punti singolari al finito, si deve tener presente che l'esperienza, pur lasciando 

 incerta l'esistenza e la natura di questi punti, impone alcune limitazioni alla 

 loro distribuzione e alla loro « intensità » . Anzitutto sappiamo che non pos- 

 sono invadere il semipiano delle ? positive ; quelli eventuali sull'asse imma- 

 ginario non possono essere poli, perchè ivi la funzione deve restaie finita; 

 quelli del semipiano negativo hanno - coefficienti d' intensità » che dipendono 

 dalle loro ascisse. Per precisare con un esempio : se <P(A) contiene un ter- 

 C 



mine (C costante, m reale positivo qualunque, q reale negativo 



qualunque), deve (f[d) contenere corrispondentemente la funzione generatrice 



di questo termine, e quindi contenere un termine C — — : e^^ : e la decre- 



r{m) 



[') Gfr. L, Pisati, op. cit., pag. 279. 



