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distanza dall'asse reale. Questi valori (complessi) si possono calcolare facil- 

 mente per integrazione grafica o numerica, eseguita sulle curve (f{tì) , xp{6) , 

 rispettivamente da sole, e moltiplicate per funzioni cosft)<^, senwtì, con 

 valori di m convenientemente scelti; oppure, più in generale, partendo da 

 curve (p{b) e~"^ , ip{tì) e~"^ se i risultati si vogliono ottenere relativi a punti 

 di una parallela all'asse immaginario, condotta a distanza -{-a. Con la scelta 

 opportuna di a , e di pochi valori di (o, si possono ottenere dati sufficienti 

 per la calcolazione numerica, con una approssimazione prefissa. 



Un'ultima osservazione. La relazione che fa dipendere (P da ^ , ovvero 

 ^ da ip , e similmente anche la relazione reciproca (la quale è di forma 

 analoga, perchè la trasformazione di Laplace gode di proprietà involutoria), 

 è riconducibile a quella che mette in rapporto (mediante l'integrale di Cauchy) 

 una funzione analitica generica F(^) con la forma del coefficiente del 

 suo sviluppo di Taylor, considerato come funzione dell'indice u. Con la so- 

 stituzione e~^ = 2, l'elemento degli integrali (1) diviene una potenza di z, 

 e gli integrali stessi si presentano come una generaliz/.azione delle serie di 

 Taylor; la sostituzione trasforma il seraipiano di convergenza, in un cerchio 

 di convergenza, di cui un caso limite è appunto il cerchio di Cauchy- 

 Hadamard. Di qui un legame fra due teorie apparentemente molto discoste: 

 la predeterminazione della forma di una funzione analitica, del suo prolun- 

 gamento, e delle sue singolarità, quando è dato il coefficiente generale del 

 suo sviluppo tayloriano in funzione dell'indice; e lo studio matematico delle 

 proprietà ereditarie dei corpi. Questo ravvicinamento lascia prevedere che 

 l'un problema debba gettar luce sull'altro; e iu particolare, che quelle so- 

 luzioni dei problemi ereditari che sono state date dal Volterra iu forma 

 diversa da quella qui esposta, possano venire reciprocamente utilizzate per 

 studiare in forma nuova il difficilissimo quesito dei prolungamenti analitici 

 delle funzioni di variabile complessa. Ma questo interessante argomento ci 

 condurrebbe ora troppo fuori del nostro cammino. 



Concludendo : Le funzioni ^'(A) , ^H a) risultano analitiche, olomorfe 

 nel semipiano ? > 0 , finite su tutto l'asse immaginario, e tendono a zero 

 nelle direzioni A = — ^ oo . Possono venire sostituite con trascendenti intere, 

 pur realizzando nei calcoli un'approssimazione comunque elevata; e l'espe- 

 rienza non può mai rilevare una deviazione da questo comportamento. Pei 

 calcoli, basta conoscere i valori assunti su un certo numero di punti del- 

 l'asse immaginario, o di una parallela all'asse immaginario ; e questi 

 valori si scelgono e si calcolano con metodi grafici o aritmetici, nel modo 

 indicato. 



Nelle Note successive, vedremo come queste proprietà si utilizzano 

 per ricavare le risolventi etfettive delle equazioni di fisica ereditaria. 



