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Recentemente (^) abbiamo dimostrato: 

 A) Una funzione arbitraria di r'^' , f{x,y) è sviluppabile in una 

 serie convergente assolutamente ed uniformemente in tutto il rettangolo 

 0 :^a , 0 ^b: 



+ 



(1) f{x,y) = {f).=y=,-^x{^\ ^-y{^) 



le ìpn{x,y) essendo funzioni di F'^' che soddisfano alle seguenti condizioni: 

 I** annullarsi insieme con le loro prime derivate per x = y =^o. 

 11** se %[x , y) è una funzione di Tg', che si annulla insieme con le 



sue derivate prime per x = y = o, e che per tutti i valori di v verifichi alla 



V = 1 , 2 , ... 



sia necessariamente d[x , ?/) = 0 ; 

 III** sieno verificate le 



. li^ip^jo , 7]) yip^o , rj) ) ,t / 1 



= 0 , fi=^ V . 



B) Q funzioni arbitrarie di F'J: fi{x, y),f2{a;,y),...fp{a;,y) sono 

 sviluppabili simultaneamente nelle serie 



(4) 



fA^,y) = fAo,o)-\-xi'^\ +^(^') + 



\ òX/a:=y=o \ òy / x^=0 



, '^^frjo.rj) yìpr,.{o , rj) 

 -\ — 



d^ dri 



(') Nuovo Cimento, novembre 1912, Gli sviluppi in serie, etc, § 6, 7. 



y = 1 , 2 , ... e 



