— 752 — 



convergenti assolutamente ed uniformemente nel rettangolo o <^ a , 

 0 , le \pri[x , y) essendo funzioni di r[' che verificano alle condizioni: 



**I. annullarsi tutte insieme con le loro prime derivate per x = 0, 

 .y = 0 ; 



**II. se 6]{x ,y) , . . . B^{x sono funzioni di per le quali si 

 abbia, per ogni valore dell' indice v 



. . p f / l>'e,{^ . O) ■ 0) , ^'6r{^ , ri) yrprA^ , V) 



v = l,2,..., 



sia identicamente dj{a: ,y) = 0, (/ = 1 , 2 , ... ; 

 **III. sieno verificate le relazioni: 



/«^ r V (^!}PrALl^ yfrA^.o) , y'rpr,i.i^ , ri) y^prAS , rj) 



= 0 , /i=i=^- 



Secondo una locuzione già introdotta in un caso analogo diremo equi- 

 normale ortogonale (') un sistema di funzioni ■ipr{x,y) di r'^ (r=l,2,...) 

 che verifica alle (3) ; ed equinormale ortogonale in complesso, un sistema 

 di funzioni xprs{x ,y) (r = 1 , 2 , ... p ; s = 1 , 2 , ...) di r'2 , che verifica 

 alle (6). 



Scopo di questa Nota è di mostrare l'effettiva esistenza di sistemi equi- 

 normali ortogonali del tipo indicato: cioè di funzioni di F'J che verificano 

 alle condizioni I**. II**, III**, e di funzioni di Fi! che verificano alle 

 **I,*^II,**III. 



2. Sia perciò 



Pi(^) , V,{x) , ... 



un sistema di funzioni A , indipendenti da y, chiuso e normale ortogonale 

 nell'intervallo 0 <^ x a: tale cioè che si abbia 



(7) fPixl^) Pn(ìc) dx = 0 fi^v 



= 1 ^^ = v , 



(') Rend. Accad. Lincei, 1910, 2" sem., pag. 268. 



