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Matematica — Serie di Taylor e funzioni analitiche di piii 

 variabili. Nota del prof. Eugenio Elia Levi, presentata dal Cor- 

 rispondente 0. Tedone. 



1. È noto che per definire le funzioni analitiche si può a piacere par- 

 tire 0 dalle condizioni di monogeneità nel campo complesso, o dalla consi- 

 derazione delle serie di potenze. Però dal punto di vista delle variabili reali 

 e dell'analisi infinitesimale, parrebbe forse più naturale riattaccarsi allo svi- 

 luppo in serie che si presenta negli elementi del calcolo: allo sviluppo in 

 serie di Taylor : appunto come faceva il Lagrange, che primo, se pure con 

 coscienza non perfettamente chiara delle limitazioni che imponeva, determinò 

 il concetto di funzione analitica. Ora, se per le funzioni di una variabile 

 serie di Taylor e serie di potenze sono la stessa cosa, per le funzioni di 

 più variabili non è lo stesso: queste sono serie multiple, quelle sono serie 

 di polinoraii omogenei ordinate per gradi crescenti; in una serie di potenze 

 si possono riordinare e aggruppare i termini in modo di ottenere una serie di 

 Taylor, ma rimane irresoluta la questione di sapere se in una serie di Taylor 

 convergente in un intorno dell'origine per valori reali delle variabili si pos- 

 sono spezzare i polinomii nei loro singoli addendi, ottenendo una serie mul- 

 tipla di potenze ; così da accertare che essa rappresenti nell'intorno dell'origine 

 una funzione regolare analitica. Il Dulac (') ha risposto affermativamente a 

 tale questione nell' ipotesi che la serie di Taylor converga uniformemente ; 

 nella breve Nota che segue, mostrerò che si può togliere questa restrizione. 

 Risulterà così in generale che una serie di polinomii omogenei in v varia- 

 bili Xi , «2 , — , ordinala per gradi crescenti, convergente in un campo 

 anche arbitrariamente piccolo dello spazio in cui sono coordinate le va- 

 riabili reali Xi , ... . rappresenta una funzione regolare analitica 

 nell'intorno dell'origine. 



Kesta aperta la questione se. come nel caso di una sola variabile, tutti 

 i punti interni al detto campo di convergenza della serie, sono punti in cui 

 la funzione è regolare; non mi è riuscito di rispondere esaurientemente a 

 questa domanda; qui dovrò limitarmi a dimostrare che i punti interni al 

 campo di convergenza in cui eventualmente la funzione non è regolare 

 formano un insieme non denso in nessuna regione parziale del campo 



(■) Dulac, Sur les séries de Maclaurin à plusieurs variables, Acta Mathematica, 

 voi. 31 (1907J, pp. 96-106. Sullo stesso argomento vedi pure P. Painlevé, Sur le déve- 

 loppement des fonctions analytiques, etc. Comptes Rendus, voi. 121 (2° sem. 1899) pag. 92. 



