— 817 — 



medesimo. Mi pare che tale fatto renda assai probabile che anche all'ulte- 

 riore domanda qui posta debbasi rispondere affermativamente : stabilendo 

 così una perfetta analogia tra il caso di una e quello di piìi variabili. 

 2. Lemma 1 ('). — Sia 



(1) /■(a7)=V«^^m 



0 



un polinomio di grado n in x, che per — 1 <. 1 sia^ sempre in va- 

 lore assoluto minore di M : si ha 



(2) ia^|<(«+l)M(^2)2'"- 



n_ 



Si ponga infatti a; = cos y : la funzione /(cos 9)) = ^ cos*" tp sarà 



0 



sempre in valore assoluto inferiore a M per (f reale. E se noi l'esprimiamo 

 per coseni dei multipli interi di (f , noi sappiamo che essa assume la forma 



n 



y cos w 9) : ed allora i coefficienti essendo dati dalle formule 



0 



am = — \ /(cos (p) cos m(p d(p , 



soddisfanno alla disuguaglianza 



(3) |a„l<2M. 



Basterà quindi al nostro scopo che cerchiamo di esprimere gli per gli 

 am- Ora si ha per una formula di Vieta (^) 



cos = .2 (— 1 )'■ - I ^ _ ^ I cos'"-^'- (f> . 2'»-^'-i . 

 Quindi si deduce 



r, OTO— 1 



0^2r-<« — m 



sr , -, w 4- 2r /m 4- ; 1\ 



y {—\y ' . \a,n^^r = 



, r \ r — 1 / 



^ , r/m4-r — 1\ , ^/m-{-r — 



n — m 



E quindi, chiamando j il massimo intero contenuto in — - — , per 

 notissime formule relative ai coefficienti binomiali e per (3), si ha 



Questo lemma ha molta analogia con uno di Dulac, loc. cit., pag. 96. 

 (^) Cfr. ad es. Hagen, Synopsis der hOheren Mathematik, Bd 1, pag. 109. 



