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/ YH \ 



dove per / = 0 devesi intendere ( , , ) = 0. Si osservi ora che 

 ^ •' \m-\-\J 



\ m / \m-\-\} \ m I m-\-l / 



e che essendo m-\-j:^m-\-2j:^n. evidentemente è ^^^"^"j^l^^^ e 



m-\-2j-\-l<^n-\-l. Seguirà allora dalla precedente disuguaglianza la (2). 



Questo lemma si estende agevolmente ai polinomii in più variabili, 

 ottenendo il 



Lemma II. — Sia 



\^) / \Xi X% ... ) — C^mi mi • • • mv 3C ^ X^ ... X^ 



un polinomio in v variabili che per — 1 <. a;,- ^ 1 , resli sempre in va- 

 lore assoluto inferiore a M: si ha 



(5) \am, m... mv\<{n + lYM — -r 2'«.^'"^-*---'»v . 



Basta ordinare il polinomio (4) secondo la variabile Xì, ordinare i 

 coefficienti del polinomio in Xi così ottenuto secondo la variabile e 

 così via: ed applicare a questi polinomii ripetutamente il lemma I. 



Ai due lemmi precedenti aggiungiamo, per rendere più agevole la lettura, 

 il seguente lemma della teoria degli insiemi di punti dovuto a Osgood ('). 



Lemma III. — Si abbia una successione Ei , E2 , ... E„ , ... di aggregati 

 di punti di uno spazio di r dimensioni : sia E la somma degli E„ , e cioè 

 l'aggregato dei punti che appartengono a qualche E„. .Ve E riempie un 

 campo C ad r dimensioni, esiste in C un campo Ci parziale nel quale 

 è denso almeno un E,-. 



Supponiamo invero che nessun E„ sia denso in un campo parziale di C ; 

 Ei sarà non denso in C , quindi esiste in C un' ipersfera S, che non ha nè 

 sul contorno, nè all' interno nessun punto di Ej ; a sua volta E2 non è denso 

 in Si , quindi esiste in Si un' ipersfera S2 che non ha nè all' interno, nè sul 

 contorno punti di E2, ecc. Cosi proseguendo si costruisce all'interno di C 

 una successione di ipersfere S| , S2 , ... S„ , ... contenute l'una nell'altra, e 

 tali che nè all'interno nè sul contorno di S„ vi sono punti di E„. Esiste 

 un punto P comune a tutte queste ipersfere: esso non appartiene a nessun E„ 

 e quindi neppure a E. il che contradice all' ipotesi che E contenga t^utti i 

 punti di C. 



('j Osgood, Am. Journal uf Mathematics, voi. 19 (1897); Math. Aiinaleii, voi. 53 

 (1900), pag. 462. Osg-ood emiiicia i) teorema nell'ipotesi, evidentemente inessenziale, 

 che gli E, contengano ciascnno il precedente. 



