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3. Ciò posto, si abbia una serie di polinomii omogenei ordinata per 

 gradi crescenti, e supponiamo dapprima che le variabili siano due sole: 



a; e y: sìa A y) = ( '^«-«»' ^^^'i® assegnata. Se 



0 0 \ 0 / 



poniamo x = ^> cos 6* , = 9 sen 0 avremo che essa si può anche scrivere 



^„ /„(cos 6 , sen 6) e" ; e per la teoria della serie di potenze, se essa con- 

 0 



verge in un punto {Xo y^) = {q^ 0^) converge in tutti i punti {a y) per cui 

 è 6 = flo e p è complesso con [9|<^^o. In particolare converge su tutto il 

 segmento [x^ , ^o) — >{ — , — yn) della retta che congiunge {x^ yo) coll'ori- 

 gine; questo fatto si può anche enunciare dicendo che il campo di conver- 

 genza di una serie di polinomii omogenei è una stella con centro l'origine. 



Supponiamo dunque che la serie converga su una curva del piano delle 

 xy reali, la quale non sia una retta per l'origine, nè un sistema di tali 

 rette ('); per l'osservazione testé fatta esisterà un settore y di un cerchio di 

 centro l'origine e raggio r sufficientemente piccolo, tale che in esso e nel 

 settore simmetrico rispetto all'origine, la serie converga. Concludendo potremo 

 dunque fissare l'ipotesi che la serie converga per ]()|<^r , 6^ 0 <_ 0^ . 



Si prenda arbitrariamente un numero r, <^ r, e si indichi con M(^) 

 il massimo valore assoluto della somma della serie per |p|<.ri ,6 = 0; 

 M(5) è una funzione finita (non sappiamo se limitata) di 6 per ^0^^ 



e per la teoria delle serie di potenze sarà l/"„(cos , sen 5)| <. . Ora, 



Ti 



indichi i un intero, ed E; l'insieme dei valori di 6 per cui M(6) la 

 somma E degli insiemi Ej è l'intervallo (<9o , ^1), esiste quindi per il 

 lemma III un intervallo {6^ , ^3) di {da , 0^) ed un i tale che E, è denso in 

 (<^2,^3); cioè esiste in (62,^3) un insieme denso di punti in cui M(d) <.2, 

 e quindi 



|/„(cos a , sen 6i)| <. — , 



od anche 



(6) I /„((> cos 9 , o sen 6) I <. / 



Ma /'„ è un polinomio in cos 0 e sen tì, quindi è funzione continua 

 di 6; la disuguaglianza (6) si verificherà quindi in ogni punto dell'inter- 

 vallo (6»2 , #3). 



e) È essenziale supporre che la curva non sia un sistema di rette per l'origine: 

 poiché, come osserva il Painlevé nella nota citata, è facile costruire una serie di polinomii 

 omogenei convergente su un insieme di raggi per l'origine denso in ogni angolo, 0 non 

 convergente in nessun intorno dell'origine. 



Rendiconti. 1912, Voi. XXI, 2° Sem. 107 



