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Facciamo una rotazione di assi prendendo due nuove variabili x' y' per 

 modo ciie la retta ?/' = 0 sia una retta m di anomalia i interna all'angolo 

 (^2,^3); anzi supponiamo, che indicando con p e f' le nuove coordinate 

 polari, sia — r <.t uu angolo interno all'angolo {'^i..^?):, basterà pren- 

 dere per X il minore dei numeri t — ^2 , ^3 — t. Ogni polinomio frXp^y) 

 diviene un polinomio (fn{x'y') omogeneo ancora nelle variabili x' y di 



n 00 



grado n: ^h(^>') = ^'"""^ 2/'*"' °"ova serie \„<pn{x'y') con- 



0 0 



vergerà negli stessi punti che la /«(ic^/); ed infine nell'angolo — r < 

 <. ^ T avremo per (6) 



I (fn{Q cos B' , Q sen 6') \ i {~'^ • 



Poniamo g = cotg t — : per 1 6' | ^ t , sarà sempre |^ j ^ — - — , e 

 quindi pure 



j y)n{Q cos tì' , Q sen ^'O ! = 1 9'n(cotg t , cotg t tg | ? 



Ma quando 6' varia tra — t e r , la quantità 2 = cotg t tg 6' varia 

 tra — 1 e 1; applicando quindi il lemma 1 al polinomio di grado n in s 



n 



9)„(C0tg T,2)= ■• ^ a,-m rn COtg""™ T . 5™ , 

 0 



avremo 



K-..l<(« + i)»(^)"(:)2"tr-".- = 



\m/\r, senr/ \riCOST/ 

 Ne segue che, qualunque siano x' e si ha: 



n II 



Z„' ^In-m „.'m < 'V' i ,./m| 



^ Un—m m y \ M/v-m m y | \ 



(8) 



<0« + 1)m + — 



|_ri cos z r, sen x J 



Quindi la serie assegnata è assolutamente ed uniformemente convergente 

 in ogni campo chiuso interno al campo dei punti di coordinate x'y' reali 

 0 complesse, ma tali che 



(9) 



