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Ora per un noto teorema di Weierstrass una serie di funzioni regolari 

 analitiche uniformemente convergente in un campo complesso ha per somma 

 una funzione analitica regolare nel campo stesso: nel nostro caso, essendo 



^n(pn{x' y') una serie di polinomii uniformemente convergente in (9), vi 



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rappresenta una funzione <P{x' , y) o Y[x , ij) regolare analitica di x e y. 

 E siccome il campo (9) contiene un intorno dell'origine, concludiamo intanto 

 col primo degli enunciati del n. 1. Anzi dalla precedente dimostrazione risulta 

 che non è neppure necessario supporre come ivi è detto che la serie di poli- 

 nomii omogenei converga in un campo del piano reale x .y, ma che baUa 

 fare l'ipotesi che la serie converga nei punti di una curva continua di tale 

 piano che non sia una retta passante per l'origine, nè un sistema di tali 

 rette per concludere che essa rappresenta, una funzione regolare analitica 

 neU intorno dell' origine stessa. 



Per ottenere il secondo degli enunciati del num. 1 osserviamo che il 

 campo (9) sul piano reale dà una losanga che contiene tutti i punti interni 

 del segmento \-x'\<C.ri cos i della retta ro. Ora, fissata la retta or che si 

 vuole scegliere come asse delle x\ si può prendere t piccolo a piacere; 

 quindi fare r, cos r quanto si vuole prossimo ad Vi : possiamo quindi dire 

 che tutti i punti di w per cui Q<^ri sono punti in cui l^{xy) è regolare 

 analitica. Ricordiamo ancora che nei precedenti ragionamenti è un nu- 

 mero arbitrario purché <^r, e è una retta arbitraria di anomalia com- 

 presa fra 62 e . Risulta che possiamo precisare il campo in cui la F{xìj) 

 è analitica regolare col dire che, fissato arbitrariamente entro la stella di 



convergenza di '^„fn{xy) un settore circolare j'- 0^, ^ 6 <^ 6, , q <C r, ed 



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un numero r' <^r , esistono in y dei settori Yi di raggio r' tutti di punti 

 in cui la funzione rappresentata dalla serie è regolare analitica. In parti- 

 colare dunque l'aggregato dei raggi, su cui esistono punti che distano dal 

 contorno della stella di convergenza più di un numero £ fissato {anche 

 arbitrariamente piccolo), e nei quali la somma della serie non è regolare 

 analitica, è non denso in nessun angolo. È chiaro che questo fatto trae seco 

 quello enunciato al n. 1 che l'aggregato dei punti interni alla stella di con- 

 vergenza, in cui la somma della serie non è funzione regolare analitica, è 

 non denso in nessuna area interna alla stella ; anzi impone a tale aggregato 

 una condizione anche piii restrittiva. 



È chiaro che. tranne qualche lieve cambiamento nelle notazioni, il ra- 

 gionamento vale anche per il caso delle v variabili : basta introdurre le 

 coordinate polari relative allo spazio a più dimensioni, ed applicare il 

 lemma II in luogo del lemma I: all'ipotesi fatta che la serie converga su 

 una curva continua che non sia una retta per l'origine (0 un sistema di 

 tali rette) occorrerà sostituire l'altra che la serie converga su una V^,_l re- 



