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estendere un resultato dovuto al prof. Lauricella, dimostrando che, assegnata 

 l'azione esterna, vi è sempre arbitrarietà nel distribuire la densità 

 in modo che, sul contorno, la densità stessa e le sue derivate par- 

 ziali, fino a quelle di un ordine finito qualsiasi, abbiano rispetti- 

 vamente gli stessi valori della (j, e delle derivate parziali della (», 

 medesima. 



Infatti, nell'espressione generale della densità 



noi possiamo, al posto di s, sostituire s", indicando con n un qualsiasi nu- 

 mero intero, positivo, superiore od eguale al numero 2. 

 Per fissare le idee, prendiamo « = 4, e scriviamo 



o = Q, -\- J%?is') = 4- uJ^s' 4- s'Jhi A- 22 — — = 



Ciò premesso, s' intenda che non soltanto la s ma anche le sue derivate, 

 che occorrono, siano funzioni limitate nel campo t. Allora, se prendiamo 

 per u una qualsiasi funzione limitata, che ammetta, inoltre, le derivate, che 

 occorre considerare, e se intendiamo che le derivate stesse siano pure limitate, 

 avremo (tenendo presente come sul contorno s = 0) che la corsispondente q 

 e le sue derivate parziali del primo ordine avranno sul contorno stesso i va- 

 lori rispettivamente della p, e delle derivate parziali del primo ordine (che 

 intendiamo ora esistenti) della p, medesima. 



E ormai si comprende ovviamente (e ne tralasciamo, perciò, la dimo- 

 strazione) come si possa stabilire il teorema generale enunciato. 



Incidentalmente, poi. vogliamo osservare che, richiamando la nostra 

 espressione generale della densità, si ricava immediatamente, e si rende 

 valido per densità più generali di quelle considerate dal prof. Lauricella, 

 il seguente notevole teorema (stabilito dallo stesso prof. Lauricella): 



Condizione necessaria e sufliciente affinchè 



gVdr 



sia invariante rispetto alle densità corrispondenti ad un'assegnata azione 

 esterna, è che la funzione U sia armonica. 



Infatti, ponendo in esso q = Qi -\- ^-^^ius^) e quindi tenendo presente 



che sul contorno s = 0 , — = 0, avremo 



dn 



Lu6/t= U«^r+ f\]J'{us^)dT= (p, UtìT+ ] us^^/^U dr. 



