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tutti e soli i valori della data funzione e se, ammessa per quest' ultima 

 l'integrabilità, gli integrali estesi al comune intervallo di definizione deb- 

 bano essere uguali: nel n. 5 indico un siffatto tipo di funzioni. 



2. Dette /f' , A^^' , L^^' le misure degli insiemi di punti in cui f{x) è 



in a ... b rispettivamente minore, uguale e maggiore di A, numero compreso 

 fra il minimo n ed il massimo M di f{x), la funzione Of{x) è la funzione 



che ÌM x = a l^P . in x = a -\- t'p -\- X'-p = b — e nei punti inter- 

 medi, ha il valore A , quando si faccia assumere ad A tutti i valori com- 

 presi fra u ed M . 



Sia data una successione di funzioni limitate e continue in a...b, 



(1) A(a-) , .... . , ... 



che tendono uniformemente ad una funzione continua F(^). 

 Si costruiscano delle (1) le funzioni ordinataci 



(2) OA(x),OA(^),...,OA(^),...; 



.vogliamo provare che codeste funzioni tendono, pure uniformemente, ad OF(a;), 

 funzione ordinatrice di F(cc). 

 Poniamo, per brevità, 



Per la convergenza uniforme delle (1) alla Y{x\ prefissato un numero tf 

 piccolo a piacere, esisterà un indice v tale che, per ogni w v e qualunque 

 sia X di a ...b , 



P(^)-^</n(a:)<F(a-) + fr. 



Allora, se è il minimo ed M il massimo di ^{x). per qualunque valore A 

 compreso fra fi — a e sarà 



^ ^A + 0 ■ 



Ma poiché le funzioni ordinatrici sono non decrescenti, dalle precedenti disu- 

 guaglianze si deduce 



0[F{x) - (T] < Ofnix) < OlF{x) + 0-] . 



