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D'altra parte, per esseie 



si trae 

 quindi 



(F— d) (F) (F— 0) (F) 



■^A-0 "^(A-l-O-O ' "^A+O •*'(A+5) + 0 ■ 



0[F(a') :± tr] = OP(x) rt ff ; 

 OP(^) — < 0A,(^) < OF(a;) + a 



per ogni /2 > r in tutto a...b\ ciò che dimostra, come ci eravanao proposti, 

 il teorema: 



Le funzioni ordinatrici di una successione di. funzioni limitale con- 

 tinue che tendono uniformemente alla funzione continua F(a;), tendono^ 

 pure uniformemente^ alla funzione ordinatrice di ¥{x). 



3. Siano 



(3) f,{x , y) , f.i[x , y) , ... , fn{x , y) , ... 



infinite funzioni limitate e continue nello stesso campo quadrabile le 

 quali tendano uniformemente alla funzione continua ¥{x,y). 



Se è un asse per l'origine degli assi cartesiani, nel 1° e 3° quadrante, 

 sul quale la direzione positiva sia quella che con la direzione positiva del- 

 l'asse X forma un angolo acuto, ogni retta r normale a (/ e che abbia 

 qualche punto in comune con J, dà luogo, insieme con la parte del contorno 

 di J che rispetto ad r sta dalla banda negativa di (/, ad uno o più pezzi 

 di J, la somma delle cui aree in valore assoluto è determinata. 



Se A è un numero compreso fra il minimo /i„ ed il massimo M„ di 



fn{x , y) in z/, siano g'-^"'' , y'^^'" , G^"' le misure superficiali degli insiemi 

 dei punti in cui fn(x , y) è minore di A, uguale ad A, o maggiore di A. 

 Sia r^'"' la retta normale a d che con la parte anzidetta del contorno 



di limita un'area misurata da g''['^\ Definiamo in J una funzione che 



sui punti di r^'*' appartenenti a ^ ha il valore A e, se yf^'^j^O, ha il 



valore A anche nella porzione di J (e suo contorno) limitata da r^''"' e da 



quella parallela che con la precedente e con il contorno di J forma l'area 



y^''"'. Al variare di A fra ^„ e M„, si ottiene una funzione Of{x , y) continua 



in crescente secondo la direzione degli assi, che prende tutti e soli i 

 valori di /"«(x , y) e per la quale è 



fn{x , y) dx dy = Ofn{x , y) clx dy . 

 Rendiconti. 1912, Voi. XXI. 2" Sem. 108 



