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Codesta funzione è una funzione ordinatrice di fn{x , y) rispetto ad entrambe 

 le variabili. 



Orbene, sussiste il teorema: 



La successione delle funzioni ordinatrici delle (3) è convergente in 

 egual grado alla funzione ordinatrice di ¥{x , y), quando^ ben inteso j per 

 tutte le funzioni (3) e 'per la ¥{x , y) si conserva la stessa direzione d . 



Per la convergenza uniforme delle (3), prefissato un numero a piccolo 

 a piacere, per ogni n maggiore di un determinato indice v, sarà, in tutto 



(4) F(a;,?/)-(r<A(a;,|/)<F(a;,^) + <r. 



Essendo fx, il minimo ed M il massimo di F(^ , y) in per un qual- 

 sivoglia valore A compreso fra ju — o- e M --(- e, sarà, ponendo per brevità 

 g^7 = r', 



oT' < C < 9^' 



A A A 



Per la costanza delle funzioni ordinatrici sulle rette normali a . e per 

 il modo della loro crescenza, dalle disuguaglianze precedenti si deduce che 



0[F(x , j/) - (T] < 0/-„(x , y) < 0[F(a; , «/) + (t] . 

 D'altra parte, poiché 



(F-4-») (F) (F— <J) (F) 



if A 9 k—<J ' JA '"A-I-CT 



WF-+-<J)_ WF) . piF-O) (F) 

 A A-C ' A y k+G ' 



si trae 



0[F(^,2/) = <T] = 0P(^,|/)=ir(r. 

 Sarà allora, per ogni n^v e in tutto J, 



OF{x ,y)-<y< Ofn{x) < 0F(^ , J/) + ff, 



ciò che dimostra il teorema. 



Come ho osservato nella mia citata Nota, alle rette normali a (jJ si 

 possono sostituire curve di convenienti famiglie. 



4. Il campo J sia limitato da due curve di equazioni x = c({y), 

 x = §{y), con a{y) e ^{y) funzioni continue, ad un valore, in a...b, es- 

 sendo « e è le ordinate minima e massima del contorno stesso : il contorno 

 può, eventualmente, oltre le due curve, comprendere due segmenti sulle rette 

 y==a,y = b. 



