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Data in /É una funzione f{x , y). e fissato per y un valore ^, si può 

 costruire di f{x,y), funzione della sola ce, la funzione ordinatrice. Se altret- 

 tanto si fa per ogni y compreso fra a e è, si ha una funzione, che indiche- 

 remo con Oocf{x , 2/), continua, che prende tutti e soli i valori di f{x , y), 

 cresce secondo la direzione positiva dell'asse x , e soddisfa alle relazioni 



f{xsy)dx=\ 0^f{x,y)dx ; 



f{x , y) dx dy = j^Oa,(a: , y) dx dy . 



La Oo:f{x , y) dicesi « funzione ordinatrice « di f{x,y) rispetto ad x. 

 Sussiste il teorema: 



Se le funzioni 



(5) f,{x , y) . I\{x , y) , ... fn{x . y) , ... 



tendono ad una funzione continua F(^ , y) in tal guisa che la successione 

 delle stesse funzioni in cui si sia fatto y = y {con y qualunque, compreso 

 fra a e b) tenda uniformemente ad P(a; , allora la successione 



(6) 0^/,(y; , ?/) . Oa;/o(.r , 2/) , ... , 0^/"n(a; , «/) , ... 



tende a 0^ F(a' , ?/) in guisa, che ogni successione che st ottiene da (6) 

 mettendo y = y, tende uniformemente a O^i^i^ ^y)- 



Basta ripetere la dimostrazione del num. 2, una volta fatta, nelle (5), 



y = y- 



Ed ancora vale la proposizione: 



Se le (5) tendono uniformemente a ^{x . y), le (6) tendono unifor- 

 memente a O^P(cc,i/). 



Pel teorema precedente, se per ogni n v è 



Y{x,y) — a<:f„[x,y)<¥{x,y)^a, 



si deduce 



(7) 0¥{x .y) — <s< Ofnia: , y) < 0¥{x .y) + a- 



dove )' dipende da y. Ma se le (5) tendono uniformemente a F(x , per 

 tutti i punti di J v' ha un numero )• tale che, per w >■ i^, è verificata la 

 (4) ; epperò la (7) vale per qualunque y compreso fra a e (5) : è quanto dire 

 che, in tutto 



0, ¥{x,y)-a<: Of^{x , y) < 0F(^ . ?/) + ; 



ciò che dimostra il teorema. 



5. Neil' intervallo a ... b sia f(x) costantemente uguale ad A , tranne 

 che in due punti x' ,x" in cui assume i valori A', A", entrambi maggiori 



