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di A. La funzione ordinatrice di f{x), se esiste, deve essere non decrescente: 

 epperò il punto od i punti in cui essa assume il valore A' debbono seguire 

 tutti quelli in cui prende il valore A, ed il punto od i punti in cui assume 

 il valore A" (maggiore di A') seguire immediatamente quelli in cui prende 



il valore A'. D'altra parte, poiché T f{x) dx = A{b — a), né mai /"(ccX^A, 



i punti in cui Of{x) prende i valori A' e A" devono costituire un insieme 

 di misura nulla. Ma una siftatta funzione non è definibile, giacché sarebbe 

 • quanto dire che la funzione ordinatrice in b deve avere il valore A", e, nel 

 punto immediatamente jrrecedenle, il valore A'. La stessa cosa si può ripe- 

 tere se f{x) é costantemente uguale ad A, tranne che in un numero finito 

 O 2) di punti 0 in un numero infinito di punti costituenti un gruppo di 

 misura nulla, nei quali f{x) assume valori diversi da A. 



OsserviaiTio che se i valori assunti da f{x), maggiori di A , si possono 

 ordinare in una successione crescente (o decrescente) Ai , A2 . ... , A„ , ... si 

 può definire una funzione P(a;) non decrescente che prende tutti e soli i 

 valori di f{x) il cui integrale esteso ad a...b differisce da quello esteso 

 allo stesso intervallo di [{x) per una quantità j;, prefissata piccola a piacere. 



Se M è un numero non superato da /'(x), sia S un numero tale che 



(M — k)d = rj: allora si consideri la funzione F(ic) che in a ... b — d è 



ò ó ó 



uguale ad A; in b — ó...b—- è uguale ad A,; in b — ^ — b — - é 



Ó Ó 



Uguale ad A?, e così, in generale, fra b — - e b — — ; — - é uguale ad A„. 



n n -\- l 



La funzione F(^) prende tutti e soli i valori di f{x), é non decrescente ed 

 il suo integrale esteso ad a ... b è 



(,_,_,)A + .|-^-<(._.)A+ ■ 



+ J A + M V — ^-rr) = 



' \ —1 n{n + 1)/ 



= (è — fl) A -|- (M — A) Ó = {b — a) A + ?y , 



mentre quello di /"(x), esteso allo stesso intervallo, é manifestamente {b — a)A. 



