Matematica. — Sulle funzioni permutabili di seconda specie. 

 Nota III di Luigi Sinigallia, presentata dal Corrisp, G. Lauricella. 



1. In due Note precedenti (') mi sono occupato della determinazione 

 delle funzioni permutabili con una funzione data, quando questa è la somma 

 di un numero finito di prodotti di una funzione della sola x per un'altra 

 funzione della sola y. Lo stesso problema fu contemporaneamente risoluto 

 dal prof. Volterra (^) il quale fece vedere come esso possa, almeno nel caso 

 generale, ridursi a quello della determinaziooe delle sostituzioni lineari per- 

 mutabili con ima sostituzione data. Ora mi propongo non solo di mostrare 

 l'accordo di tale risultato del prof. Volterra con quello già da me stabilito 

 ma anche di far vedere, applicando la teoria delle forme algebriche bilineari 

 di Probenius (^) come le funzioni chieste nel caso generale si esprimano per 

 mezzo dei nuclei iterati del nucleo dato. Comincio qui coll'occuparmi di 

 questi nuclei iterati, fra i quali sussisteranno le stesse relazioni che esistono 

 fra le potenze delle forme bilineari, riserbandomi di trattare in una Nota 

 successiva delle funzioni permutabili del nucleo dato. 



2. Se la funzione P(.^; , y) è definita nel campo [a^x = b , a^y ^b) 

 la funzione 



quando si prenda ¥y{x , y) = ¥{x , y), dicesi nucleo iterato di ordine k del 

 nucleo dato F{x,y). Supponiamo che il nucleo dato F(jj , sia uguale 

 alla somma di un numero finito di prodotti di una funzione della sola x 

 per un'altra funzione della sola y, di guisa che se (pr{x) , xpriy) costituiscono 

 il sistema ortogonale completo della ¥{x , y) si abbia 



CJ Sinigallia, Sulle funzioni permutabili di seconda specie, Keudicoiiti dell'Acca^ 

 demià dei Lincei, Ndta I (ser. 5% voi. XX, 1° sem. 1911); Nota IF (ser. 5'', voi. XX, 

 2° sem, 1911). 



(^) Volterra, Sopra le funzioni permutabili di 2" speice e le equazioni integrali 

 (Rendiconti dell'Accademia dei Lincei, ser. 5*, yoI. XX, 1° sem. 1911). 



C) Frobenius, [/eber lineare Substitutionen und bilineare Formen (Journal tur 

 d. r. u. a Mathematik, Bd. 84 (1878); Encyclopédie des sciences mathématiques (éditiun 

 franfaises), tom. I, voi. 2, fase. 4, pag. 440 e seg. 



I. — I NUCLEI ITERATI. 



(/^ == 2 , 3 , ...) 



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