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Ponendo ora 



= r (pi{s) tphis) ds , 



^ a 



sarà 



n 



A, 



se 2 — A , • 



0 se i=^h ' ^^h — ^i^i^ 



n 



— A • A 



(/5: = 1,2,...) 

 avremo 



n 



(3) ^Ax.y)= ^ -^g>i{x)xpH{y) (/fc= 1 , 2 , ...). 



3. Se ora consideriamo il nucleo P2(^,y) come una forma bilineare coi 



coefficienti -r-^ e le variabili , per le (2) il nucleo ¥x{a;,y) 



sarà la potenza {k — l)*"" (secocdo Probenius) del nucleo ¥o{x,y). Perciò 

 la successione dei nuclei F2 , P3 , ... condurrà certamente ad un nucleo che 

 sarà una combinazione lineare omogenea a coefficienti costanti di tutti i 

 nuclei precedenti. Se Fp{x,y) è il nucleo del minimo ordine che gode di 

 tale proprietà, avremo 



ed in generale se 



(2) 



\0) 



(4) a, F{x ,y)-{-a2 Pìia? , y) -\ \- ap ¥p{x ,y) = 0, 



essendo le a delle costanti ed Op=^0. La (4) si dirà l'equasione del mi- 

 nimo ordine cui soddisfa il nucleo F(x , y). Dalla (4) qualunque sia il nu- 

 mero intero positivo r si deduce 



«1 Yr+,{x , ?/) + «2 F^+2(a:; , y) + ■■• + l^r+p{x , y) = 0 



cioè ogni nucleo di ordine maggiore di è pure una combinazione lineare 

 omogenea a coefficienti costanti di F, , , ... Fp_i . 



