li' equazione caratteristica del nucleo 'Pì{x , y) sarà 



Sì{s) 





A21 



A,ji 



IT"' 











An2 



>l> 



— — s 





Am 



Aan 



A 



A, 







= b,-^f>,^-{-b,s'-\ }-*„^,s" = 0. 



E se è il massimo comuu divisore di tutti i minori di ordine n — 1 

 del determinante iì{s) e 



e{s) 



Siis) 



ai -\- di s s'^ -\- •••-{- ap s^~^ 



l'equazione del minimo ordine cui soddisfa il nucleo F(x , y) sarà appunto 

 la (4). 



Invece, se i divisori elementari del determinante S2{s) sono potenze di 

 basi tutte diverse fra loro sarà x{s) = 1 e tì{s) = Si{s). Inversamente se 

 6(s) = iì{s) sarà /(s) = 1 ed i divisori elementari del determinante S2{s) 

 saranno potenze di basi tutte diverse fra loro. 



Dunque la condisione necessaria e sufficiente perchè 



b, F(^ , ij) -f b, F2(a; , \- b^^, F„^,(a" , ?/) = 0 



sia V equazione del minimo ordine cui soddisfa il nucleo Y{x , y) è che i 

 divisori elementari del determinante Si{s) siano potenze di basi tutte di- 

 verse fra loro. Quando ciò accade (e soltanto in questo caso) i nuclei 

 Pi , F2 , . . . F„ saranno tutti linearmente fra loro indipendenti ed i nuclei 

 iterati di tutti gli altri ordini saranno delle loro combinazioni lineari omo- 

 genee a coefficienti costanti. 



■ 4. Però quando il determinante 



D = 



Au 



Ani 



Ai« 



è nullo ed ha la caratteristica q, l'equazione del minimo ordine cui soddisfa 

 il nucleo dato non può avere ordine maggiore di q -\- 2, . Infatti se 



(5) 



{i — \ , ... n — q ; h = \ , ... n) ; 



