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Dopo una prima Memoria sui prodotti infiniti di funzione, nella quale diede 

 nuove ed «leganti proprietà funzionali su di essi, comunicò nell'apule del 1888, 

 all'Accademia delle Scienze dell'Istituto di Bologna, una breve Nota, nella 

 quale egli, pur non presentando risultati del tutto nuovi, inaugurava un 

 nuovo metodo per lo studio delle serie di funzioni, che doveva ben presto 

 condurlo a quei risultati, in virtù dei quali il suo nome è oramai legato 

 indissolubilmente alla scienza. 



Il metodo dell'Arzelà si fonda suU' idea, tanto semplice quanto geniale, 

 di considerare una serie di funzioni di una variabile indipendente come caso 

 particolare di una funzione di due variabili indipendenti, e di interpretare 

 la continuità della serie come la continuità di detta funzione rispetto ad una 

 delle due variabili. Nella sua Nota egli premette un approfondito studio 

 sulla continuità assoluta e sulla continuità di direzione delle funzioni di due 

 variabili indipendenti, fissando in particolare, mediante un'opportuna formola 

 elementarissima, un legame fra le continuità di una funzione nelle due dire- 

 zioni degli assi ; e dalla semplice lettura dei teoremi stabiliti sulla conti- 

 nuità delle funzioni, fa scaturire i noti teoremi del Dioi sulla continuità di 

 una serie di funzioni in un punto e sulla continuità in tutto un campo. 



L' Heine, per dimostrare rigorosamente la continuità delle serie di fun- 

 zioni continue, aveva ammesso che la serie nel campo di variabilità fosse 

 uniformemente convergente. Il Dini osservò che questa condizione è troppo 

 restrittiva; e perciò introdusse, come condizione sufficiente per la continuità 

 delle serie di funzioni, il suo nuovo concetto di convergenm uniforme sem- 

 lÀice. L'Arzelà, nella suddetta Nota, oltre a dare ragione della esuberanza 

 della condizione di convergenza uniforme, posta dall' Heine, osserva che anche 

 la condizione del Dini, benché molto meno restrittiva, è esuberante; e la sua 

 Nota chiude con le seguenti parole: " Le poche cose qui esposte servono a 

 mostrare come dalla considerazione delle funzioni generali a due variabili si 

 possa trarre in modo semplicissimo la teoiia delle serie i cui termini sono 

 funzioni di una variabile x\ ma questo concetto è certamente suscettibile di 

 più ampio sviluppo . 



Queste parole provano che egli aveva intuito tutto il valore del suo nuovo 

 concetto; e infatti concentrò tutta la sua attività a svolgere intorno ad esso 

 quel maggiore sviluppo, che aveva di già intravveduto. 



L'anno dopo, nella seduta dell' 11 aprile 1884, potè tinalmeute comu- 

 nicare all'Accademia di Bologna il suo teorema, il quale dà la condizione 

 necessaria e sufficiente per la continuità in tutto il campo di una serie di 

 funzioni continue. 



Per comprendere tutta l' importanza di questo teorema, noto oramai 

 sotto il nome di teorema di Arzelà, basterà rammentare che quasi tutti i 

 problemi, i quali dipendono analiticamente dalla ricerca di una o piìi fun- 

 zioni, si risolvono oggidì per mezzo di serie di funzioni, e che una delle 



