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prime proprietà, che generalmente occorre stabilire, è la continuità o la non 

 continuità nel campo di variabilità delle funzioni cercate. Il merito dell'Ar- 

 zelà, nella scoperta di questo teorema, acquista maggior valore, quando si 

 pensi che egli riuscì ad esaurire una quistione che pochi anni prima aveva 

 tormentato la mente di alcuni fra i piii illustri matematici. 



Dopo questo brillante risultato, l'Arzelà pensò subito ad applicare ad 

 altri problemi analoghi il suo metodo di ricerca. 



Una quistione, che subito dopo quella della continuità si presenta nello 

 studio delle serie di funzioni, è quella dell'integrabilità, poicliè una serie 

 non continua, o per la quale non si riesce a dimostrare la continuità, può 

 essere atta all'integrazione rieraanniana. In vista di ciò. erano state già trovate 

 delle condizioni sufficienti per l'integrabilità riemanniana della serie; e di 

 queste, la meno restrittiva era quella del Dini, che richiede l'integrabilità dei 

 termini della serie e la coiivergeaza uniforme semplice della serie stessa. 

 L'Arzelà, in una Nota dei Rendiconti di questa Accademia, nell'aprile del 1885, 

 comunicò un lemma sulle serie di funzioni, il quale gli doveva servire, se- 

 condo affermava chiudendo la Nota stessa, a stabilire la condizione necessaria 

 e sufficiente per l'integrabilità riemanniana delle serie di funzioni integrabili; 

 e questa condizione difatti egli pubblicò qualche mese dopo negli stessi 

 Eendiconti. riuscendo così ad arricchire l'Analisi di un nuovo importante 

 teorema. 



Le pubblicazioni di Arzelà sulle serie di funzioni non richiamarono 

 subito, come conveniva, l'attenzione degli analisti ; però non passarono molti 

 anni, che si manifestò un risveglio relativamente allo studio dei fondamenti 

 del Calcolo; ed allora i risultati dell'Arzelà ebbero il debito posto di onore 

 nell'Analisi, e furono brillantemente avvalorati da svariati esempì. Lo stesso 

 Arzelà, lieto dell' interessamento che i suoi teoremi avevano destato, in due belle 

 Memorie dell'Accademia di Bologna, pubblicate rispettivamente nel 1899 e 

 nel 1900, raccolse i suoi studi sulle serie di funzioni, facendone una esposi- 

 zione sisteuiatica e corredandola con opportuni esempi ; ed oramai i due teo- 

 remi dell'Arzelà sulla continuità e sulla integrabilità delle serie si trovano 

 in tutti i trattati sulla teoria delle funzioni, e sono noti a tutti gli studiosi 

 di questo importante ramo dell'Analisi. 



Forse la mutabilità del concetto di integrale potrà un giorno sminuire 

 l'importanza che attualmente ha l'integrale di Riemann. e quindi ancora 

 l'importanza del teorema sull'integrabilità delle serie di funzioni dell'Arzelà; 

 ma il concetto di continuità non ha nulla di mutabile, mentre per altro la 

 storia ci insegna che ben difficilmente l'Analisi potrà disfarsi dell'uso delle 

 serie di funzioni ; sicché il teorema sulla continuità dell'Arzelà conserverà in- 

 tatta la sua importanza, ed il nome dell'autore vivrà imperituro nella scienza. 



Le applicazioni e le estensioni che l'Arzelà fece dei suoi teoremi sulle 

 serie di funzioni, sono numerose e di gran valore; e pure di gran valore sono 



