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le nuove ricerche che egli più tardi affrontò sopra problemi fondamentali di 

 Calcolo e sopra ardite quistioni di Analisi, concentrando ogni volta tutti i 

 suoi sforzi alla ricerca delle condizioni necessarie e sufficienti, o quanto meno 

 alla ricerca del minimo di condizioni. Rammenteremo qui il teorema sulla 

 iategrazione termine a termine delle serie; l'estensione di una formola di 

 Cantor sul problema della sviluppabilità in serie di Fourier; l'elegante studio 

 degli integrali fra limiti infiniti di funzioni contenenti un parametro; quello 

 sull'integrazione per sostituzione, sull'inversione delle funzioni, ecc. 



Un insieme veramente notevole di lavori dell'Arzelà è quello che ebbe 

 origine dal concetto di funzione di linea, introdotto nel 1887 dal prof. Vol- 

 terra. Questi, nelle sue ricerche sulle funzioni di linea, si era limitato a sta- 

 bilire quelle proprietà funzionali che gli occorrevano per le applicazioni che 

 intendeva farne alla teoria delle funzioni di due variabili complesse, all'esten- 

 sione della teoria di Hamilton-Jacobi e alla teoria delle equazioni integrali. 

 L'Arzelà, in una Nota del 1889, riprese la teoria del Volterra dal punto di 

 vista funzionale, ed estese ad essa una gran parte delle proprietà delle fun- 

 zioni ordinarie, ed in particolare di quelle continue in tutto un campo. 

 Queste proprietà, e, sopra tutto, il teorema di esistenza di una linea di mas- 

 simo e di minimo, gli fecero intuire il legame fra la teoria delle funzioni 

 di linea e la dimostrazione riemanniana del friaci'pio di Dirichlet. Qualche 

 anno piìi tardi infatti, dopo di avere perfezionato in parecchi punti essenziali 

 la teoria delle varietà di funzioni, pubblicò una Memoria, nella quale espo- 

 neva un suo nuovo metodo, mediante il quale pensava dovesse rendersi rigo- 

 rosa la dimostrazione di Riemann. Ed il tempo gli die' ragione, inquantochè 

 con considerazioni analoghe a quelle dell'Arzelà, alcuni anni dopo, 1' Hilbert 

 potè colmare le lacune che conteneva la primitiva dimostrazione di Riemann. 



Assai notevole poi è l'uso, che l'Arzelà fece, della teoria delle funzioni 

 di linea per dare una nuova e più semplice dimostrazione del secondo teo- 

 rema della media per gli integrali doppii, di quel teorema che, qualche 

 tempo avanti egli stesso per la prima volta aveva stabilito, e che acquistò 

 subito tanta importanza uella teoria degli sviluppi in serie doppie di 

 Fourier. 



1 suoi risultati sulle varietà di funzioni l'Arzelà applicò pure con suc- 

 cess© a semplificare la nota dimostrazione di Cauchy-Lipschitz sull'esistenza 

 di integrali dell'equazione differenziale ordinaria del 1° ordine, e quella di 

 Picard, fondata sulle approssimazioni successive ; e di tali risultati pensò di 

 valersi ancora per dimostrare, seguendo una via analoga, il teorema di esi- 

 stenza, nel dominio delle quantità reali, per l'equazione alle derivate parziali 

 del 1° ordine. La dimostrazione che di questo teorema egli pubblicò, indica 

 una nuova via per la trattazione di tali quistioni; però essa non è esente 

 da qualche menda, che diede molto a pensare all'autore, e che, come egli 

 ebbe occasione di scrivere ad uno dei suoi più cari discepoli, credeva alfine di 



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