ad uno. Indicando con co(y) una funzione, che tra — 1 e 0 ò uguale a — 1 , 

 tra 0 e +1 è uguale a +1, e nei punti ?/ = qzÌ ,y — 0 è uguale a zero 

 (funzione che può esprìmersi analiticamente con molta facilità per mezzo 

 della serie di Fourier), e ponendo: 



A- 



f(x)= \ s>l 



2 



n s | (f (sen nnx) \ 2 



por questa funzione f(x) si verifica appunto la singolarità accennata ('). 



« Questa funzione ci offre il mezzo di costruirne un'altra che ha sin- 

 golarità della stessa specie ma di indole più generale : infatti se <p(x )e <p(x) 

 sono due funzioni note e determinate per ogni valore di x, ponendo: 



F (x) =• <p (x) + 1 9 (x) -<l>{op)\f (od) , 

 per questa si avrà la singolarità, che assumerà i valori di <p(x) per x irra- 

 zionale e i valori di <p(x), per x razionale. 



« Ciò che però sembra meritevole di esser notato, è che di una fun- 

 zione che abbia tali singolarità, possono assegnarsi infinite espressioni ana- 

 litiche. 



« Si può dimostrare la seguente proprietà generale : 

 « Data una serie finita di intervalli separati : 

 (1) (ai , bi) , (a t , b%) , ... , (a„, b n ) 



« e altrettante coppie di funzioni, note e definite negli intervalli stessi : 



(©! (x) , (J/i (CO)} , (92 (OC) , <bi (»)) , ... , (X) , lp n (%)) 



« è sempre possibile di esprimere analiticamente in infiniti modi, una fun- 

 « zione f(x) tale che pei punti corrispondenti a valori razionali di x negli 

 «intervalli (1) assuma respettivamente i valori di cpi(x) , <p%(x) , . . ,q> n (x), 

 « e pei punti dei medesimi intervalli corrispondenti a valori irrazionali di x 

 « assuma i valori di tyi(x) , <pi(x) , . . , <p n (%) ; per tutti gli altri valori di 

 « x è nulla ». 



« Negli estremi degli intervalli (1), specialmente quando questi estremi 

 possano sovrapporsi, potrà il valore della funzione f(x) non soddisfare alle 

 condizioni accennate. 



« Gl'intervalli (1) possono anche ridursi ad un solo , e precisamente 

 all'intervallo ( — 00 , + 00). 



« Sia n(x) una funzione analitica conosciuta, sempre finita e avente un 

 numero finito di oscillazioni nell'intervallo (a , b), nel quale si mantiene, in 



(') Veramente dovrebbe piuttosto dirsi clic pei valori razionali di x la f[x) non ha 

 alcun valore, mentre è uguale ad 1 pei valori irrazionali di x; noi però si intenderà di 



aver convenuto che K = co e — = 0. 



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