valore assoluto, non inferiore ad imo. Questa funzione non potrà avere di- 

 scontinuità di seconda specie nell' intervallo («,&), e noi supporremo che 

 abbia una discontinuità di prima specie in un punto interno % =c , nel 

 quale assumeremo per valore di n(x) o uno dei suoi valori limiti, o un 

 valor qualunque , non inferiore numericamente all'unità. La discontinuità 

 nel punto x — c , sia tale da aversi : 



lin W<n-o 71 ( x ) = - lin V=s-o 71 • 

 Negli estremi a , b potranno essere i valori limiti di n(x) anche uguali e 

 di segno contrario, ma ciò non è necessario, e solo ammetteremo che sieno 

 determinati, finiti e numericamente maggiori di uno i valori di n(a) , n(b) ('). 



« Per mezzo della serie di Fourier potremo allora ottenere l'espressione 

 analitica di una funzione che tra a e b , esclusi gli estremi, e in punto 

 x~. c, coincide con n(x) , mentre negli estremi assume il valore: 



7r(a+0)-h7T(6— 0) 

 2 



e nel punto x = c il valore: 



0 = 



2 



co co 



« Chiamiamo questa funzione a>(y) , e sieno lu lt (x) , 2u' n (x) due serie 



o o 



qualunque convergenti per tutti quanti i valori di x\ allora ponendo: 

 " u n (x) » u' n (x) 



, . §tC-\c — (a — rìsevPnnxl , o nAc-^-ib — c) sen 1 nuoci .,, 



F (co) = p 5 7-^ 1 + ^ , , \ ■■ 1 (-), 



' y . u »(°°) y u " (°°) 



o f 2 j c — (a — c) sen 2 nux \ o 1 c ~h (b — c) sen 2 nreJ? j 

 per questa funzione avremo: 



F (a?) = 0 



quando x è razionale, e; 



foe) ~ p + 9 



(') Una funzione che soddisfa le conddizioni di n(x) sarebbe p. e., A-t-B — 



ì 



quando si determinino convenientemente A , B e si restringano i limiti dell'intervallo (a , b) 

 contenente il punto x = c. 



( ! ) Di serie che sono convergenti per ogni valore di x possono aversene in numero 

 infinito: così, se \p n {x) è sempre finita per ogni valore intero e positivo di n e per ogni 

 valore di x, la serie: 



ir * n [ X) ' »l 

 ojn-+-?> n(x) Y 



è sempre convergente- Nell'espressione di F(x) possono anche togliersi gli esponenti alle 



co co 



l'unzioni n e cp , quando le serie S u H (x) , 2 u'n(x) restino convergenti sostituendo ad ogni 



o o 



termine il suo valore assoluto. 



