quando x è irrazionale. Le quantità p , q sono arbitrarie e possono assumersi 

 tali che la loro somma abbia un valore a piacere. Se o\(x) è una funzione 

 analitica nota e determinata per ogni valore di x, e lo stesso avviene per 

 , ponendo : 



p-hq = ipi(.v) — (pi {ce) 

 e ¥ ì (x) = (p l (x\ r ^¥{x}, 



questa funzione Fi (a?) per i valori razionali di x sarebbe uguale a w\{x) e 

 pei valori irrazionali sarebbe uguale a ty\(x). Nella composizione di F(x) si 

 vede che si ha una grandissima arbitrarietà, 



« Ora se y^x) , ip t (a) sono funzioni analitiche note , finite e determi- 

 nate e con un numero finito di oscillazioni nell' intervallo (o s , b s ), suppo- 

 nendole proseguite pei rimanenti valori di x in modo da esser sempre zero, 

 per mezzo della serie di Fourier, potremo avere due espressioni analitiche 

 di funzioni che nell'intervallo (a s , b s ) , esclusi gli estremi, coincidono con 

 (fi(x) , <p s (x) , e pei rimanenti valori di x sono nulle. Ben inteso che per le 

 cp^x) , <p s {x) nei punti di discontinuità si assumano per valori le semisomme 

 dei valori limiti. Chiamando le espressioni analitiche così determinate 

 F p (x) , F} s (ìk) e ponendo: 



P+tf.=*>i(^)H-*V(<z) 



la funzione: 



. Mn(as) A u'„(x) 



F^F^+p *» , l«+('>-')"» , «**) ^fr'l'+O-O-Wj 



v ' ri ' » tt a (fl?) » u n (x) 



o 05 2 |c + (a — c) sen 2 W7r^| o ?> 2 ( o + (& — c) sen 2 n7:£pj 

 soddisfarà la condizione di esser zero pei valori di x corrispondenti a punti 

 situati fuori dell'intervallo (a s , b s ) , di essere uguale a © S ( :C ) P e * valori ra- 

 zionali, e uguale a ty s (x) pei valori irrazionali di x corrispondenti ai punti 

 di quest'intervallo. 



« Quello che si è fatto per P intervallo (a s , b s ) può ripetersi per gli 

 altri, e chiamando l\(x) , , . . , F„(.r) le funzioni corrispondenti, ana- 

 loghe alla F s {x) , avremo che : 



f^) = lf s {x) 



sarà la funzione che ci eravamo proposti di determinare. 



« Quando sia nota una funzione che per x incomensurabile è uguale ad 

 uno e per x commensurabile è uguale a zero, anche con un altro metodo, fon- 

 dato sopra certi teoremi relativi alle serie, possono costruirsi infinite espres- 

 sioni analitiche di funzioni che hanno la stessa singolarità. Infatti se 



oo 



2v n (x) è una serie divergente per ogni valore di x, e i suoi termini sono 

 o 



sempre decrescenti, si ha che: 



S/(x) 



Rendiconti — Vol. I. I 1 * 



